Soluciones Numéricas vs. Soluciones Algebraicas

Para motivar tomamos el ejemplo presentado en el capítulo introductorio del libro de Miranda y Fackler.

Consideremos la siguiente función de demanda: $$q=p^{-0.2}$$

Dos preguntas fáciles de responder:

1. ¿Cuál es la función inversa de demanda?
2. ¿Cuál es el precio que clarea el mercado cuando la cantidad es 2?

Respuestas:

1. Solución algebraica: $$p=q^{-5}$$

2. Usando una calculadora:

p=2^-5

p =

    0.0312

Ahora intentemos con una función de demanda algo diferente: $$q=0.5p^{-0.2} + 0.5p^{-0.5}$$

Esta función contiene dos términos: - Una demanda doméstica. - Una demanda por exportación.

Usando argumentos formales basados en los teoremas del Valor Intermedio y de la Función Implícita se puede establecer que la función inversa de demanda está bien definida, es continua y estrictamente decreciente. Por tanto, existe un único precio que clarea el mercado.

Solución a las preguntas (1) y (2): No existe un solución cerrada para la función inversa de demanda. ¿Cómo calculamos el precio que clarea el mercado?

Alternativa: Solución numérica.

p = 0.25;
for i=1:100
  deltap = (.5*p^-.2+.5*p^-.5-2)/(.1*p^-1.2 + .25*p^-1.5);
  p = p + deltap;
  if abs(deltap) < 1.e-8, break, end
end 
disp(p);

    0.1542

Incluso podemos ver como luce la función de demanda inversa usando la misma idea:

q = (0.5:0.1:2.2)';
P = zeros(length(q),1);
for j=1:length(q)
    p = 0.25;
    for i=1:100
        deltap = (.5*p^-.2+.5*p^-.5-q(j))/(.1*p^-1.2 + .25*p^-1.5);
        p = p + deltap;
        if abs(deltap) < 1.e-8, break, end
    end 
    P(j) = p;
end;

disp([q P]);

    0.5000    8.3553
    0.6000    4.6392
    0.7000    2.8710
    0.8000    1.9178
    0.9000    1.3553
    1.0000    1.0000
    1.1000    0.7634
    1.2000    0.5990
    1.3000    0.4808
    1.4000    0.3932
    1.5000    0.3268
    1.6000    0.2753
    1.7000    0.2348
    1.8000    0.2023
    1.9000    0.1759
    2.0000    0.1542
    2.1000    0.1362
    2.2000    0.1210

plot(q,P);
ylabel('Precio');
xlabel('Cantidad');

Incluso podríamos usar interpolación lineal para evaluar puntos de la función de demanda fuera de los encontrados en la tabla que caracteriza la demanda:

pi = interp1(q,P,1.456)

pi =

    0.3560