class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Macroeconometría ] .subtitle[ ## Heterocedasticidad en Modelos de Series de Tiempo ] .author[ ### Mauricio Tejada ] .institute[ ### Ingeniería Comercial ] --- layout: true <div class="my-footer"><img src="img/logo2.png" style="height: 35px;"/></div> --- ## Introducción - La **heterocedasticidad** no ocasiona sesgo ni inconsistencia en las estimaciones MCO, pero invalida los errores estándar usuales. - En series de tiempo, la heterocedasticidad a menudo recibe poca atención. Por lo regular es más común el problema de autocorrelación. - Cuando analizamos **los errores estándar de Newey-West** vimos cómo se ajustan los errores estándar usuales de MCO (y con ello los estadísticos t y F) al considerar la presencia de autocorrelación y heterocedasticidad de forma desconocida. - En años recientes, los economistas han volcado su interés en las **formas dinámicas de heterocedasticidad**, analizando el comportamiento dinámico de la varianza (modelos de heteroscedasticidad condicional). - En este capítulo nos enfocaremos en este tipo de modelos. - Este capítulo es solo una breve introducción a este tipo de modelos, ya que existe una gran variedad de modelos y aplicaciones que pueden hacer un curso entero por si solos. --- ## Pruebas de heterocedasticidad - Usaremos la **prueba de heterocedasticidad de Breusch-Pagan**. Algunos aspectos se deben considerar en el contexto de series de tiempo. - Los errores no deben correlacionarse serialmente, cualquier correlación serial por lo general invalida las pruebas de heterocedasticidad. De ahí que tenga sentido probar primero la correlación serial. - Una vez que se han realizado las acciones pertinentes para corregir la correlación serial, se pone a prueba la heterocedasticidad. - Considere la siguiente ecuación de prueba: `$$u_{t}^{2}=\delta_{0}+\delta_{1} x_{t 1}+\ldots+\delta_{k} x_{t k}+v_{t}$$` Note que: `$$\mathbb{V}(u_t)=\mathbb{E}(u_{t}^{2})=\delta_{0}+\delta_{1} x_{t 1}+\ldots+\delta_{k} x_{t k}$$` La hipótesis nula `\(\mathrm{H}_{0}: \delta_{1}=\delta_{2}=\ldots=\delta_{k}=0\)` implica ausencia de heterocedasticidad. - Para que sea válido el estadístico F se supone que `\(v_t\)` son en sí homocedásticos y que no están autocorrelacionados. Esto se da por sentado de manera implícita al calcular todas las pruebas estándar de heterocedasticidad. --- class: separator-blue, middle # Modelos de Heterocedasticidad Condicional --- ## Ideas básicas - La volatilidad de muchas series económicas no es constante en el tiempo. <img src="8_Heterocedasticidad_en_Modelos_de_Series_de_Tiempo_files/figure-html/multiplicadores-1.png" width="85%" style="display: block; margin: auto;" /> --- ## Ideas básicas - Vamos a trabajar con series donde existen períodos tranquilos y períodos de mayor volatilidad. - El fenómeno se conoce como **heterocedasticidad condicional** (la varianza no condicional, o de largo plazo, puede ser constante pero existen períodos particulares donde la varianza es alta). - El objetivo es predecir la varianza. Esto es relevante en retornos de activos donde la varianza de largo plazo no es relevante (el activo se compra en `\(t\)` para ser vendido en `\(t+1\)`). - Introduzcamos una variable que ayude a predecir la volatilidad. `$$y_{t+1}=\epsilon_{t+1}x_{t}$$` donde `\(\epsilon_{t+1}\)` es error con media cero y varianza `\(\sigma_{\epsilon}^{2}\)`. - Si `\(x_{t}=x_{t-1}=x_{t-2}=...\)` entonces `\(y_{t}\)` es un ruido blanco con varianza constante. - Si `\(x_{t}\neq x_{t-1}\neq x_{t-2}\neq...\)` entonces la varianza de `\(y_{t}\)` condicional en las realizaciones de `\(X_{t}\)` no es constante. `$$\mathbb{V}(y_{t+1}|x_{t})=x_{t}^{2}\sigma_{\epsilon}^{2}$$` --- ## Procesos ARCH - El problema con el enfoque anterior es que `\(x_{t}\)` afecta no sólo la varianza de `\(y_{t}\)` pero también su nivel. - Engle (1982) introdujo la idea de **modelar simultáneamente la media y la varianza** de una serie de tiempo. - **Preliminares**: predicción no Condicional vs. Condicional. Considere un `\(AR(1)\)` (como ejemplo). `$$y_{t}=\phi_{0}+\phi_{1}y_{t-1}+\epsilon_{t}$$` - Media No Condicional: `\(\mathbb{E}[y_{t+1}]=\frac{\phi_{0}}{1-\phi_{1}}\)`. - Media Condicional: `\(\mathbb{E}[y_{t+1}|y_{t}]=\phi_{0}+\phi_{1}y_{t}\)` - La varianza del error de predicción en cada caso es: `$$\begin{aligned} \mathbb{E}_{t}\left[\left(y_{t+1}-\phi_{0}-\phi_{1}y_{t}\right)^{2}\right] = & \mathbb{E}_{t}[\epsilon_{t+1}^{2}]=\sigma_{\epsilon}^{2}\\ \mathbb{E}\left[\left(y_{t+1}-\frac{\phi_{0}}{1-\phi_{1}}\right)^{2}\right] = & \mathbb{E}\left[\left(\epsilon_{t+1}+\phi_{1}\epsilon_{t}^{2}+\phi_{1}^{2}\epsilon_{t}^{3}...\right)^{2}\right]=\frac{\sigma_{\epsilon}^{2}}{1-\phi_{1}^{2}} \end{aligned}$$` - Note que `\(\frac{\sigma_{\epsilon}^{2}}{1-\phi_{1}^{2}}>\sigma_{\epsilon}^{2}\)` dado `\(|\phi_{1}|<1\)`. **La predicción condicional** es superior. --- ## Procesos ARCH - Si la varianza condicional de `\(\epsilon_{t}\)` no es constante, la varianza condicional de `\(y_{t+1}\)` tampoco lo será: `$$\mathbb{V}(y_{t+1}|y_{t})=\mathbb{E}_{t}\left[\left(y_{t+1}-\phi_{0}-\phi_{1}y_{t}\right)^{2}\right]=\mathbb{E}_{t}[\epsilon_{t+1}^{2}]$$` - Para predecir la varianza de `\(\epsilon_{t}\)` se podría plantear un modelo `\(AR(q)\)` para los errores al cuadrado: `$$\hat{\epsilon}_{t}^{2}=\alpha_{0}+\alpha_{1}\hat{\epsilon}_{t-1}^{2}+...+\alpha_{q}\hat{\epsilon}_{t-q}^{2}+\upsilon_{t}$$` con lo que: `$$\mathbb{E}_{t}[\hat{\epsilon}_{t+1}^{2}]=\alpha_{0}+\alpha_{1}\hat{\epsilon}_{t}^{2}+...+\alpha_{q}\hat{\epsilon}_{t+1-q}^{2}$$` - Este es un proceso autorregresivo de heterocedasticidad condicional (ARCH). --- ## Procesos ARCH - Engle (1982) plantea que es mejor modelar la media y la varianza al mismo tiempo y que para ello es más conveniente utilizar una especificación multiplicativa en `\(\upsilon_{t}\)`. - ARCH(1) multiplicativo: `$$\epsilon_{t}=\upsilon_{t}\sqrt{\alpha_{0}+\alpha_{1}\epsilon_{t-1}^{2}}$$` donde `\(\sigma_{\upsilon}^{2}=1\)`. - Se asume que `\(\epsilon_{t}\)` y `\(\upsilon_{t}\)` son independientes. Note que: `$$\begin{aligned} \mathbb{E}[\epsilon_{t}] = & \mathbb{E}[\upsilon_{t}]\mathbb{E}[\sqrt{\alpha_{0}+\alpha_{1}\epsilon_{t-1}^{2}}]=0\\ \mathbb{E}[\epsilon_{t}^{2}] = & \mathbb{E}[\upsilon_{t}^{2}]\mathbb{E}[\alpha_{0}+\alpha_{1}\epsilon_{t-1}^{2}]=\frac{\alpha_{0}}{1-\alpha_{1}} \end{aligned}$$` --- ## Procesos ARCH - La media y la varianza incondicionales no se ven afectadas por la presencia de proceso definido por Engle (1982). Por otro lado, `$$\begin{aligned} \mathbb{E}_{t-1}[\epsilon_{t}] = & \mathbb{E}_{t-1}[\upsilon_{t}]\mathbb{E}_{t-1}[\sqrt{\alpha_{0}+\alpha_{1}\epsilon_{t-1}^{2}}]=0\\ \mathbb{E}_{t-1}[\epsilon_{t}^{2}] = & \mathbb{E}_{t-1}[\upsilon_{t}^{2}]\mathbb{E}_{t-1}[\alpha_{0}+\alpha_{1}\epsilon_{t-1}^{2}]=\alpha_{0}+\alpha_{1}\epsilon_{t-1}^{2} \end{aligned}$$` - La varianza condicional depende de las realizaciones de `\(\epsilon_{t-1}^{2}\)`. - Restricciones: `\(\alpha_{0}>0\)` y `\(0<\alpha_{1}<1\)`. - ¿Qué efecto tiene ésto sobre la varianza del proceso `\(y_{t}\)`? `$$\begin{eqnarray*} \mathbb{V}(y_{t}|y_{t-1}) & = & \mathbb{E}_{t-1}[\epsilon_{t}^{2}]=\alpha_{0}+\alpha_{1}\epsilon_{t-1}^{2}\\ \mathbb{V}(y_{t}) & = & \mathbb{V}\left(\frac{\phi_{0}}{1-\phi_{1}}+\sum_{i=0}^{\infty}\phi_{1}^{i}\epsilon_{t-i}\right)=\left(\frac{1}{1-\phi_{1}^{2}}\right)\left(\frac{\alpha_{0}}{1-\alpha_{1}}\right) \end{eqnarray*}$$` - Note que el modelo ARCH puede ser usado para modelar períodos de baja y alta volatilidad usando un enfoque univariado. --- ## Procesos ARCH - El proceso ARCH puede ser extendido para permitir un orden mayor en el componente autorregresivo de la varianza. El `\(ARCH(q)\)`: `$$\epsilon_{t}=\upsilon_{t}\sqrt{\alpha_{0}+\sum_{i=1}^{q}\alpha_{i}\epsilon_{t-i}^{2}}$$` de donde se desprende que: `$$\mathbb{E}_{t-1}[\epsilon_{t}^{2}]=\alpha_{0}+\sum_{i=1}^{q}\alpha_{i}\epsilon_{t-i}^{2}$$` y: `$$\begin{eqnarray*} \mathbb{V}(y_{t}|y_{t-1}) & = & \alpha_{0}+\sum_{i=1}^{q}\alpha_{i}\epsilon_{t-i}^{2} \end{eqnarray*}$$` --- ## Procesos ARCH .pull-left[ - Tomemos un ejemplo numérico para analizar la interacción de un componente `\(AR(1)\)` en `\(y_{t}\)` con un componente `\(ARCH(1)\)` en `\(\epsilon_{t}\)`. ] .pull-right[ <img src="img/ejemplo_arch.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" /> ] --- ## Bondad de Ajuste - ¿Cómo identificar el orden `\(q\)`? - Engle (1982) propuso un test formal para primero verificar la presencia de errores `\(ARCH\)`. 1. Estimar el *mejor* modelo para `\(y_{t}\)` y obtener los errores ajustados `\(\hat{\epsilon}_{t}\)`. 2. Estimar el siguiente modelo: `\(\hat{\epsilon}_{t}^{2}=\alpha_{0}+\alpha_{1}\hat{\epsilon}_{t-1}^{2}+...+\alpha_{q}\hat{\epsilon}_{t-q}^{2}+\upsilon_{t}\)`. REalizar el siguient test. La hipótesis nula es `\(H_{0}:\textrm{No ARCH }(\alpha_{1}=...=\alpha_{q}=0)\)`. Usar el estadístico `\(LR\)`: `$$LM=(T-q)\times R^{2}\sim\chi_{q}^{2}$$` También es posible usar un test `\(F\)`. --- ## Bondad de Ajuste - Para evaluar el ajuste es posible usar los criterios de información AIC y BIC. `$$\begin{eqnarray*} AIC & = & T\times\ln(SRC)+2n\\ BIC & = & T\times\ln(SRC)+n\times\ln(T) \end{eqnarray*}$$` - Como queremos saber cuan bien ajusta el modelo varianza a los datos podríamos usar la siguiente definición alternativa de `\(SRC\)`: `$$SRC^{*}=\sum_{t=1}^{T}(\epsilon_{t}^{2}-h_{t})^{2}$$` --- ## Ejemplo 1: Retornos del Tipo de Cambio Nominal de Chile - Vamos a estimar un modelo del tipo: `$$\begin{eqnarray*} y_{t} &=&\phi_{0}+\epsilon_{t} \\ \epsilon_{t}&=&\upsilon_{t}\sqrt{\alpha_{0}+\sum_{i=1}^{q}\alpha_{i}\epsilon_{t-i}^{2}} \end{eqnarray*}$$` lo que quiere decir que el retorno gira en torno a una media de forma aleatoria. - La varianza condicional de `\(y_t\)` no es constante: `$$\mathbb{V}_t(y_{t}) = \mathbb{V}_t(\epsilon_{t}) = \alpha_{0}+\sum_{i=1}^{q}\alpha_{i}\epsilon_{t-i}^{2}$$` - Podemos usar esta última ecuación (en su versión estimada) para predecir la varianza de los retornos. --- ## Ejemplo 1: Retornos del Tipo de Cambio Nominal de Chile - El primer paso es elegir el orden `\(q\)`: usando AIC obtuvimos 19. ``` ## [1] 9197.669 9017.271 8941.173 8855.932 8769.924 8743.098 8716.843 ## [8] 8712.014 8710.545 8706.155 8673.905 8668.295 8668.768 8668.348 ## [15] 8666.481 8660.803 8656.392 8657.863 8653.186 11118.000 10943.110 ## [22] 11813.379 11816.168 12079.425 12312.265 ``` ``` ## [1] 19 ``` - Testeamos la presencia de errores ARCH. ``` ## ## ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects ## ## data: vartcn.t ## Chi-squared = 601.02, df = 19, p-value < 2.2e-16 ``` --- ## Ejemplo 1: Retornos del Tipo de Cambio Nominal de Chile - Coeficientes estimados: ``` ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## a0 1.010255e-01 0.005543235 1.822502e+01 0.000000e+00 ## a1 1.090835e-01 0.015147596 7.201376e+00 5.961898e-13 ## a2 8.679278e-02 0.011844984 7.327387e+00 2.347011e-13 ## a3 6.676678e-02 0.015060536 4.433227e+00 9.283296e-06 ## a4 6.211069e-02 0.011843130 5.244449e+00 1.567504e-07 ## a5 8.763146e-02 0.014146888 6.194399e+00 5.850800e-10 ## a6 3.741826e-02 0.013688704 2.733514e+00 6.266250e-03 ## a7 4.985810e-02 0.012960645 3.846884e+00 1.196296e-04 ## a8 2.149057e-02 0.011838393 1.815328e+00 6.947350e-02 ## a9 1.018672e-02 0.012102377 8.417120e-01 3.999492e-01 ## a10 1.583056e-02 0.012178956 1.299829e+00 1.936597e-01 ## a11 5.148956e-02 0.013754600 3.743442e+00 1.815162e-04 ## a12 3.198030e-02 0.013372151 2.391560e+00 1.677695e-02 ## a13 6.297992e-16 0.010550876 5.969165e-14 1.000000e+00 ## a14 1.031704e-02 0.012052497 8.560084e-01 3.919932e-01 ## a15 2.033477e-02 0.012392348 1.640913e+00 1.008154e-01 ## a16 2.791719e-02 0.013176877 2.118650e+00 3.412006e-02 ## a17 2.950211e-02 0.010671121 2.764669e+00 5.698066e-03 ## a18 1.042191e-03 0.010271214 1.014672e-01 9.191796e-01 ## a19 3.660659e-02 0.012943902 2.828096e+00 4.682580e-03 ```