class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Macroeconometría ] .subtitle[ ## Series de Tiempo No Estacionarias ] .author[ ### Mauricio Tejada ] .institute[ ### Ingeniería Comercial ] --- layout: true <div class="my-footer"><img src="img/logo2.png" style="height: 35px;"/></div> --- ## Introducción - Recordemos: - **Estacionariedad Estricta**: Una serie de tiempo es estacionaria si su distribución de probabilidad no cambia en el tiempo, esto es, si la distribución conjunta de `\(y_{s+1},y_{s+2},...,y_{s+T}\)` no depende de `\(s\)` sin importar el valor de `\(T\)`. En caso contrario, la series es no estacionaria. - Definición alternativa (más débil, pero más práctica): - **Estacionariedad en Covarianza** Un proceso estocástico `\(y_{t}\)` es débilmente estacionario o estacionario en covarianza si y solo si: 1. `\(\mathbb{E}\left[y_{t}\right]=\mu<\infty,\,\,\,\forall t\)` 2. `\(\mathbb{V}(y_{t})=\mathbb{E}\left[(y_{t}-\mathbb{E}[y_{t}])^{2}\right]=\gamma_{0}<\infty,\,\,\,\forall t\)` 3. `\(Cov(y_{t},y_{t-j})=\mathbb{E}\left[(y_{t}-\mathbb{E}[y_{t}])(y_{t-j}-\mathbb{E}[y_{t-j}])\right]=\gamma_{j}<\infty,\,\,\,\forall t,\forall j\)` --- ## Introducción - Usaremos el concepto de estacionariedad débil o en covarianza. - La no estacionariedad de una serie de tiempo está fuertemente ligada a la existencia de: - Tendencias. - Quiebres Estructurales. - **Nos centraremos inicialmente en la tendencia**. Existen dos modelos para caracterizar una serie no estacionaria. - Tendencia deterministica (ya estudiada en capítulos anteriores): `$$y_{t}=\alpha+\beta t + u_{t}$$` - Tendencia estocástica (Caminatas Aleatorias): `$$\begin{aligned} y_{t} & = y_{t-1}+u_{t} \\ y_{t} & = \phi_{0}+y_{t-1}+u_{t} \end{aligned}$$` con `\(u_{t}\)` un error. --- class: separator-blue, middle # Procesos estocástico no estacionarios con tendencia --- ## Tendencia deterministica (TD) - **Tendencia Determinística (TD)**: La tendencia es bien definida y no cambia en el tiempo. Un ejemplo es la tendencia lineal. `$$y_{t}=\alpha+\beta t+u_{t}$$` `\(\alpha\)`y `\(\beta\)` son parámetros, `\(t\)` es un indice temporal, `\(u_{t}\)` es un error con `\(\mathbb{E}[u_{t}]=0\)` y `\(\mathbb{V}[u_{t}]=\sigma^{2}\)`. Otros ejemplos serían tendencia cuadráticas o polinómicas. - Es fácil de verificar que en el caso de la tendencia lineal: - `\(\mathbb{E}[y_{t}]=\alpha+\beta t\)` - `\(\mathbb{V}[y_{t}]=\sigma^{2}\)` - La **fuente de no estacionariedad es la media**: La media va cambiando en el tiempo (aumenta si `\(\beta>0\)`). - Así, la series de tiempo es una fluctuación estacionaria alrededor de una tendencia deterministica. De checho note que el proceso `\(z_t=y_{t}-\beta t=\alpha+u_{t}\)` es estacionario. - Controlar por la tendencia o eliminarla usando MCO **soluciona el problema de no estacionariedad**. --- ## Tendencia estocástica tipo caminata aleatoria (RW) - **Caminata Aleatoria (RW)**: Procesos donde la tendencia cambia aleatoriamente en el tiempo. `$$y_{t}=y_{t-1}+u_{t}$$` con `\(u_{t}\)` un error con `\(\mathbb{E}[u_{t}]=0\)` y `\(\mathbb{V}[u_{t}]=\sigma^{2}\)`. - Iterando desde `\(t=0\)` en adelante tenemos (normalizamos `\(y_0=0\)`): `$$\begin{aligned} y_{0} & = 0\\ y_{1} & = y_{0}+u_{1}=u_{1}\\ y_{2} & = y_{1}+u_{2}=u_{1}+u_{2}\ \ \ ...\\ y_{t} & = y_{t-1}+u_{t}=\sum_{i=1}^{t}u_{i} \end{aligned}$$` - Entonces `\(\mathbb{E}[y_{t}]=0\)` y `\(\mathbb{V}[y_{t}]=t\sigma^{2}\)`. La **fuente de no estacionariedad es la varianza**. Note además que el proceso tiene memoria infinita (altamente persistente). - El proceso `\(z_t=y_{t}-y_{t-1}=u_{t}\)` es estacionario. Por tanto, tomar la diferencia **soluciona el problema de no estacionariedad**. --- ## Tendencia estocástica tipo caminata aleatoria con drift (RWD) - **Caminata Aleatoria con Drift (RWD):** `$$y_{t}=\phi_{0}+y_{t-1}+u_{t}$$` con `\(u_{t}\)` un error con `\(\mathbb{E}[u_{t}]=0\)` y `\(\mathbb{V}[u_{t}]=\sigma^{2}\)`. - Iterando desde `\(t=0\)` en adelante tenemos (normalizamos `\(y_0=0\)`): `$$\begin{aligned} y_{0} & = 0\\ y_{1} & = \phi_{0}+y_{0}+u_{1}=\phi_{0}+u_{1}\\ y_{2} & = \phi_{0}+y_{1}+u_{2}=2\phi_{0}+u_{1}+u_{2}\ \ \ ...\\ y_{t} & = \phi_{0}+y_{t-1}+u_{t}=t\phi_{0}+\sum_{i=1}^{t}u_{i} \end{aligned}$$` - `\(\mathbb{E}[y_{t}]=t\phi_{0}\)` and `\(\mathbb{V}[y_{t}]=t\sigma^{2}\)`. Las **fuentes de no estacionariedad son la media y la varianza**. Un RWD es una TD mas un RW. - El proceso `\(z_t=y_{t}-y_{t-1}=\phi_0+u_{t}\)` es estacionario. Por tanto, tomar la diferencia **soluciona el problema de no estacionariedad**. --- ## Procesos estacionarios vs. no estacionarios. - Es **muy difícil distinguir** entre RWD y TD, y entre RW y AR(1) aunque son procesos completamente diferentes. <img src="6_Series_de_Tiempo_No_Estacionarias_files/figure-html/simulaciones-1.png" width="79%" style="display: block; margin: auto;" /> --- ## Procesos de raíz unitaria - Los procesos de **raíz unitaria** son aquellos que incluyen un proceso de caminata aleatoria (RW y RWD). Son procesos con **tendencias estocásticas**. - Un **test de raíz unitaria** entonces debería buscar probar la siguiente hipótesis nula: `$$\mathrm{H}_{0}:\phi=1\,\,\,\,vs.\,\,\,\,\mathrm{H}_{1}:|\phi|<1$$` en el modelo: `$$y_{t}=\phi_{0}+\phi y_{t-1}+\beta t+u_{t}$$` - Este modelo incluye a varias estructuras como casos particulares. |Caso | Proceso | Parámetros | | --- | --- | --- | | 1 | AR(1) | `\(-1<\phi<1\)`, `\(\beta=0\)` | | 2 | TD | `\(-1<\phi<1\)`, `\(\beta\neq0\)` | | **3** | RW | `\(\phi=1\)`, `\(\phi_{0}=\beta=0\)` | | **4** | RWD | `\(\phi=1\)` | --- ## Procesos de raíz unitaria - ¿Porqué es relevante evaluar raíces unitarias? - La interpretación de los resultados de un test de raíz unitaria depende de como están especificados los otros parámetros `\((\phi_{0},\beta)\)`. - La regla es tener una interpretación económica coherente para la hipótesis nula y la alternativa. - **Evaluar estacionariedad**: - Corresponde a contrastar el caso 1 (AR(1)) versus el 3 (RW). Bajo `\(\mathrm{H}_{0}\)` el proceso es no-estacionario, mientras que bajo `\(\mathrm{H}_{1}\)` es estacionario. - **Determinar la fuente de no-estacionariedad**: - ¿Es una tendencia deterministica o un proceso de raíz unitaria (tendencia estocástica)? El caso 2 (TD) versus el 4 (RWD). - La transformación apropiada depende crucialmente de la fuente de no estacionariedad --- ## Tests de raíz unitaria: Test de DF - **Dickey-Fuller (1979)** desarrollan una prueba de presencia de raíz unitaria basado en el estadístico `\(t\)`. - DF consideran tres regresiones de prueba (para contar por los diferentes casos discutidos): `$$\begin{aligned} \Delta y_{t} & = \gamma y_{t-1}+u_{t}\\ \Delta y_{t} & = a_{0}+\gamma y_{t-1}+u_{t}\\ \Delta y_{t} & = a_{0}+\gamma y_{t-1}+a{}_{2}t+u_{t} \end{aligned}$$` - La hipótesis nula de no estacionariedad es: `$$\mathrm{H}_{0}:\gamma=0 \rightarrow \phi=1\,\ \ \ \ RW/RWD$$` - Estadístico de prueba: `$$t=\frac{\hat{\gamma}-0}{\sqrt{\hat{\mathbb{V}(\gamma)}}}$$` - **Problema**: a diferencia del caso de regresión estándar, bajo `\(\mathrm{H}_{0}\)` **el estadístico no tiene distribución asintótica normal**. --- ## Tests de raíz unitaria: Test de DF - ¿Cómo realizar un test conjunto de constantes, tendencias y raíz unitaria? Test F `$$\phi_{i}=\frac{\left(SRC_{R}-SRC_{NR}\right)/r}{SRC_{R}/(T-k)}$$` - Los valores críticos los dan Dickey y Fuller (por ejemplo para 100 observaciones): .regression[ | Modelo | Hipótesis | Estadístico | Valor Crítico (95 y 99%) | | --- | --- | --- | --- | | `\(\Delta y_{t}=a_{0}+\gamma y_{t-1}+a_{2}t+u_{t}\)` | `\(\gamma=0\)` | `\(\tau_{\tau}\)` | -3.45 y -4.04 | | | `\(\gamma=a_2=0\)` | `\(\phi_3\)` | 6.49 y 8.73 | | | `\(a_0=\gamma=a_2=0\)` | `\(\phi_2\)` | 4.88 y 6.50 | | `\(\Delta y_{t}=a_{0}+\gamma y_{t-1}+u_{t}\)` | `\(\gamma=0\)` | `\(\tau_{\mu}\)` | -2.89 y -3.51 | | | `\(a_0=\gamma\)` | `\(\phi_1\)` | 4.71 y 6.70 | | `\(\Delta y_{t}=\gamma y_{t-1}+u_{t}\)` | `\(\gamma=0\)` | `\(\tau\)` | -1.95 y -2.60 | ] - **Estrategia**: Partir con el modelo (3) y probar raíz unitaria. Si no RU, probar presencia de tendencia y pasar al modelo (2) si es el caso. Probar raíz unitaria en modelo (2). Si no RU, probar presencia de constante y pasar al modelo (1) si es el caso. Probar raíz unitaria en modelo (1). --- ## Tests de raíz unitaria: Test de DF aumentado - DF suponen que `\(u_{t}\)` en la ecuación de prueba no tiene autocorrelación: problemas de especificación, AR(p) vs. AR(1). - Si `\(u_{t}\)` tiene autocorrelación, Dickey y Fuller (1979) sugieren incorporar rezagos de la variable dependiente: `$$\begin{aligned} \Delta y_{t} = & \gamma y_{t-1}+\sum_{i=2}^{p}\beta_{i}\Delta y_{t-i+1}+u_{t}\\ \Delta y_{t} = & a_{0}+\gamma y_{t-1}+\sum_{i=2}^{p}\beta_{i}\Delta y_{t-i+1}+u_{t}\\ \Delta y_{t} = & a_{0}+\gamma y_{t-1}+a{}_{2}t+\sum_{i=2}^{p}\beta_{i}\Delta y_{t-i+1}+u_{t} \end{aligned}$$` - **Problema**: El resultado es más apropiado para `\(p\)` grande, pero implica perdida de grados de libertad. - Usar AIC y BIC para elegir `\(p\)`. - Verificar que los errores resultantes no presenten autocorrelación (usar FAC y/o pruebas de autocorrelación). --- ## Ejemplo 1: Raíz unitaria en el tipo de cambio real de Chile - Vamos a realizar un test de raíz unitaria a una serie económica dándole además una interpretación económica al resultado: - La **hipótesis de la PPP** establece que: `$$e_{t}=p_{t}-p_{t}^{f}+d_{t}$$` donde `\(d_{t}\)` son los desvíos transitorios de la PPP en `\(t\)`. La hipótesis será válida si y solo si `\(d_{t}\)` es estacionaria. - El **test empírico** puede darse notando la definición de tipo de cambio real: `$$r_{t}=e_{t}+p_{t}^{f}-p_{t}$$` - ¿Notan alguna similitud entre `\(r_{t}\)` y `\(d_{t}\)`? Se dice que **la PPP se satisface en el largo plazo si el tipo de cambio real es estacionario**. Eso es lo que vamos a tratar de probar. --- ## Ejemplo 1: Raíz unitaria en el tipo de cambio real de Chile .pull-left[ <img src="6_Series_de_Tiempo_No_Estacionarias_files/figure-html/tcr-1.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" /> ] .pull-right[ <img src="6_Series_de_Tiempo_No_Estacionarias_files/figure-html/tcr_acf-1.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" /> ] --- ## Ejemplo 1: Raíz unitaria en el tipo de cambio real de Chile - La ecuación de prueba DF para el **TCR en nivel** con constante y tendencia y selección de rezagos vía AIC es: ``` ## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt + z.diff.lag) ``` - Los resultados de la regresión son: ``` ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) 1.234549e-01 4.961564e-02 2.48822509 1.324437e-02 ## z.lag.1 -2.707960e-02 1.079805e-02 -2.50782326 1.254292e-02 ## tt -5.094089e-07 8.429648e-06 -0.06043062 9.518428e-01 ## z.diff.lag 2.455539e-01 4.870299e-02 5.04186486 7.001575e-07 ``` - Los valores de los estadísticos de prueba y los valores críticos son: ``` ## tau3 phi2 phi3 ## statistic -2.507823 2.237935 3.34264 ``` ``` ## 1pct 5pct 10pct ## tau3 -3.98 -3.42 -3.13 ## phi2 6.15 4.71 4.05 ## phi3 8.34 6.30 5.36 ``` - Note que **no podemos rechazar la hipótesis de presencia de raíz unitaria**. --- ## Ejemplo 1: Raíz unitaria en el tipo de cambio real de Chile La ecuación de prueba DF para **la primera diferencia del TCR** con constante y tendencia y selección de rezagos vía AIC es: ``` ## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag) ``` - Los resultados de la regresión son: ``` ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## z.lag.1 -0.79691907 0.06188473 -12.8774750 5.341673e-32 ## z.diff.lag 0.03339748 0.04985160 0.6699379 5.032829e-01 ``` - Los valores de los estadísticos de prueba y los valores críticos son: ``` ## tau1 ## statistic -12.87747 ``` ``` ## 1pct 5pct 10pct ## tau1 -2.58 -1.95 -1.62 ``` - Entonces, el TCR es una serie no estacionaria, con lo que **la hipótesis de la ppp no se cumpliría**. Mas aún, la serie diferenciada es estacionaria. --- ## Más de una raíz unitaria: Orden de integración - Usamos no estacionariedad, raíz unitaria y serie integrada para referirnos al mismo fenómeno. - Algunas series pueden tener múltiples raíces unitarias. ¿Qué significa? `$$\begin{aligned} y_{t}\sim I(1) & \Longleftrightarrow & \Delta y_{t}\sim I(0)\\ y_{t}\sim I(2) & \Longleftrightarrow & \Delta y_{t}\sim I(1)\\ & \vdots\\ y_{t}\sim I(d) & \Longleftrightarrow & \Delta y_{t}\sim I(d-1) \end{aligned}$$` - **Test de Multiples Raíces Unitarias**: Aplicar el test DF a las sucesivas diferencias y parar en el momento en que se encuentre una serie estacionaria. - Las series económicas son en general `\(I(1)\)` y en algunas raras ocasiones podría ser `\(I(2)\)`. - En el **ejemplo del tipo de cambio real de Chile** la serie sería `\(I(1)\)` (la series en niveles es no estacionaria pero la serie diferencia lo es). --- class: separator-blue, middle # Procesos estocástico no estacionarios con quiebres estructurales --- ## Quiebres estructurales - Cuando existe cambio estructural DF está sesgado a no rechazar la nula de raíz unitaria. <img src="6_Series_de_Tiempo_No_Estacionarias_files/figure-html/simulaciones_quiebre-1.png" width="75%" style="display: block; margin: auto;" /> - Donde `\(D_{P}\)` una variable dummy pulso y `\(D_{L}\)` una variable dummy de nivel. - Además, en cualquier modelos de predicción (y de análisis causal) lo coeficientes no serán constantes en el tiempo. Esto genera un problema de validez externa del modelo. --- ## Tests de quiebres estructurales ### Caso 1: La fecha del cambio estructural es conocida - Suponga que el **cambio estructural ocurrió en el momento** `\(\tau\)`. - Cambios en los coeficientes pueden detectarse con un modelo ARD(p,r) con una **variable ficticia de quiebre estructural**. - Suponga un ARD(1,1): `$$y_{t}=\beta_{0}+\beta_{1}y_{t-1}+\delta_{1}x_{t-1}+\gamma_{0}D_{t}(\tau)+\gamma_{1}D_{t}(\tau)\times y_{t-1}+\gamma_{2}D_{t}(\tau)\times x_{t-1}+u_{t}$$` con: `\(D_{t}(\tau)=1\)` si `\(t\geq\tau\)` y 0 en cualquier otro caso. - Probamos la hipótesis nula con un test de Chow (test F con errores robustos): `$$\mathrm{H}_{0}:\gamma_{0}=\gamma_{1}=\gamma_{2}=0$$` - Si no rechazamos `\(\mathrm{H}_{0}\)` entonces no habría evidencia que los coeficientes de regresión hayan cambiado en `\(\tau\)`. Si al menos uno es no cero, entonces el quiebre es probable. --- ## Tests de quiebres estructurales ### Caso 2: La fecha del cambio estructural no es conocida - Rara vez el momento de un quiebre es conocido. El análisis puede ayudar si el cambio es muy evidente en las series. - En caso de desconocer la fecha exacta, sería deseable una prueba donde la hipótesis nula sea estabilidad de parámetros y la alternativa (general) un cambio estructural en algún punto en el tiempo. - Usaremos la **prueba de razón de verosimilitud de Quandt (RVQ)**. Intuitivamente esta prueba busca probar quiebre para cada posible fecha en la muestra y usa el estadístico F más grande. - Test de razón de verosimilitud de Quandt: `$$RVQ=\max_{\tau}F(\tau)$$` con `\(F(\tau)\)` es estadístico F suponiendo que la fecha del quiebre es `\(\tau\)`. --- ## Tests de quiebres estructurales ### Caso 2: La fecha del cambio estructural no es conocida (cont...) - Es un proceso iterativo, se estima el modelo cambiando la fecha de la variable ficticia `\(D_{t}(\tau)\)` en el intervalo `\(\tau_{0}\leq\tau\leq\tau_{1}\)`. `$$RVQ=\max\left[F(\tau_{0}),F(\tau_{0}+1),...,F(\tau_{1}-1),F(\tau_{1})\right]$$` - Las elecciones estándar de `\(\tau_{0}\)` y `\(\tau_{1}\)` son: Usar el 70% en el intervalo (excluir de la detección el 15% superior e inferior). - **Problema**: `\(RVQ\)` es el máximo `\(F\)` posible, por tanto sus valores críticos deberían ser mayores que los de un test F de una sola fecha. --- ## Ejemplo 2: Estabilidad de la curva de Phillips en Chile .pull-left[ - Estimamos la siguiente especificación: `$$\begin{aligned} \Delta inf_t & = \alpha_0 + \sum_{j=1}^{4} \beta_j \Delta inf_{t-j} + \sum_{j=1}^{2} \gamma_j td_{t-j} \\ & + \phi_0 D(\tau) + \sum_{j=1}^{4} \phi_j \Delta inf_{t-j}D(\tau) + u_t \end{aligned}$$` - Los parámetros `\(\phi_0\)` y `\(\phi_j\)` `\((j=1....4)\)` detectan cambios en la constante y en las pendientes asociadas a los rezagos de la inflación, respectivamente. - El estadístico `\(RVQ=3.625\)` y se observa en febrero 2009. ] .pull-right[ <img src="6_Series_de_Tiempo_No_Estacionarias_files/figure-html/prueba_rvq-1.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" /> ]