Macroeconometría

.title[
# Macroeconometría
]
.subtitle[
## Series de Tiempo Estacionarias: Efectos Causales Dinámicos (Parte II)
]
.author[
### Mauricio Tejada
]
.institute[
### Ingeniería Comercial
]

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## Introducción al análisis de series de tiempo en muestras grandes

- Los **supuestos** utilizados hasta ahora parecen ser **demasiado restrictivos**.

- La exogeneidad estricta, la homocedasticidad y la ausencia de autocorrelación son requisitos muy exigentes, especialmente en el contexto de series de tiempo.
  
  - La inferencia estadística en los modelos se basa en la validez del supuesto de normalidad.
  
- Si el tamaño de la **muestra es grande** se necesitan **supuestos mucho más débiles**. 
  
  - Un requisito clave para el análisis de muestras grandes es que las series de tiempo  sean estacionarias y débilmente dependientes.
  
- Intuición sobre el concepto de estacionariedad:

- En términos generales, una serie de tiempo es estacionaria si sus propiedades estocásticas y su estructura de dependencia temporal no cambia con el tiempo.

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# Series de tiempo estacionarias y débilmente dependientes

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## Series de tiempo estacionarias

- Recordemos las **definiciones** de estacionariedad estricta y en covarianza (o débil).

- Una serie de tiempo es **estacionaria en el sentido estricto** si su distribución de probabilidad no cambia en el tiempo, esto es, si la distribución conjunta de `$Y_{s+1},Y_{s+2},...,Y_{s+T}$` no depende de `$s$` sin importar el valor de `$T$`. En caso contrario, la series es no estacionaria. Por otro lado, se dice que un par de series de tiempo `$X_{t}$` e `$Y_{t}$` son conjuntamente estacionarias si la distribución conjunta de `$Y_{s+1},...,Y_{s+T},X_{s+1},...X_{s+T}$` no depende de `$s$` sin importar el valor de `$T$`.

- Un proceso estocástico `$y_{t}$` es débilmente estacionario o **estacionario en covarianza** si y solo si:

1. `$\mathbb{E}\left[y_{t}\right]=\mu<\infty,\,\,\,\forall t$`

2. `$\mathbb{V}(y_{t})=\mathbb{E}\left[(y_{t}-\mathbb{E}[y_{t}])^{2}\right]=\gamma_{0}<\infty,\,\,\,\forall t$`
 
 3. `$Cov(y_{t},y_{t-j})=\mathbb{E}\left[(y_{t}-\mathbb{E}[y_{t}])(y_{t-j}-\mathbb{E}[y_{t-j}])\right]=\gamma_{j}<\infty,\,\,\,\forall t,\forall j$`
 
- **Importancia**: Si se quiere entender la relación entre dos o más variables utilizando el análisis de regresión, se requiere dar por sentada algún tipo de estabilidad en el tiempo.

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## Series de tiempo débilmente dependientes

- Introduzcamos una **nueva definición**, la de serie de tiempo débilmente dependiente.

- Un proceso estocástico `$y_{t}$` es **débilmente dependiente** si para todo `$t$`, `$y_{t}$` es "casi independiente" de `$y_{t+h}$` con `$h$` que crece al infinitivo, esto es:
`$$Corr\left(y_{t}, y_{t+h}\right) \rightarrow 0 \text { cuando } h \rightarrow \infty$$`

- Discusión:

- Una implicación de la dependencia débil es que la correlación entre `$y_{t}$` y `$y_{t+h}$` debe converger a cero si `$h$` crece hasta el infinito.
  
  - La dependencia débil es importante para el análisis de regresión porque reemplaza el supuesto del muestreo aleatorio.
  
  - El teorema del central del límite para datos de series de tiempo requiere estacionariedad y alguna forma de dependencia débil. 
  
  - Tomar en cuenta que una serie puede ser no estacionaria pero si ser débilmente dependiente.
  
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## Ejemplos de series de tiempo débilmente dependientes
 
- Proceso de **medias móviles de orden uno**, MA(1).
`$$y_{t}=e_{t}+\alpha_{1} e_{t-1}, t=1,2, \ldots$$`
donde `$\left\{e_{t}: t=0,1, \ldots\right\}$` es una secuencia i.i.d. con media cero y varianza `$\sigma^2_e$`.

- Interpretación: `$y_{t}$` es un promedio ponderado corto entre `$e_t$` y `$e_{t-1}$`.
  
  - Este proceso es débilmente dependiente porque las observaciones que están separadas por dos periodo o más no están correlacionadas.
  
`\begin{eqnarray*}
    \mathbb{E}\left[y_{t}\right]&=&0 \\
    \mathbb{V}\left[y_{t}\right]&=& \left(1+\alpha_{1}^{2}\right) \sigma_{e}^{2} \\
    Cov(y_{t},y_{t-h})&=&\begin{cases}
  \alpha_{1}\sigma_{e}^{2} & h=1\\
  0 & h\geq2
  \end{cases} \\
    Corr(y_{t},y_{t-h})&=&\begin{cases}
  \frac{\alpha_{1}}{\left(1+\alpha_{1}^{2}\right)} & h=1\\
  0 & h\geq2
  \end{cases}
\end{eqnarray*}`

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## Ejemplos de series de tiempo débilmente dependientes

- Proceso **autorregresivo de orden uno**,  AR(1).
`$$y_{t}=\rho_{1} y_{t-1}+e_{t}, t=1,2, \ldots$$`
donde `$\left\{e_{t}: t=0,1, \ldots\right\}$` es una secuencia i.i.d. con media cero y varianza `$\sigma^2_e$`.

- Interpretación: `$y_t$` traslada al presente, hasta cierto punto, información del período anterior (más los shocks aleatorios `$e_t$`).
 
 - El supuesto clave para la dependencia débil de un proceso AR(1) es la condición de estabilidad `$|\rho_1|<1$`.
 
`\begin{eqnarray*}
 \mathbb{E}\left[y_{t}\right]&=&0 \\
 \mathbb{V}\left[y_{t}\right]&=& \frac{\sigma_{e}^{2}}{1-\rho^2_1} \\
 Cov(y_{t},y_{t-h})&=& \rho^h_1 \mathbb{V}\left[y_{t}\right]\\
 Corr(y_{t},y_{t-h})&=& \rho^h_1
\end{eqnarray*}`

- Aún cuando `$y_t$` y `$y_{t-h}$` estén correlacionadas, esta correlación se vuelve muy pequeña para `$h$` grande si `$|\rho_1|<1$`.

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## Algunos comentarios sobre series de tiempo débilmente dependientes

- Existen muchos tipos de series de tiempo débilmente dependientes, incluidos los híbridos de procesos autorregresivos y de promedio móvil.

- Para ilustrar el concepto solo usamos dos, MA(1) y AR(1).

- Una **serie con tendencia, aun cuando no sea estacionaria, puede ser débilmente dependiente**

- Un ejemplo es la tendencia deterministica lineal, donde la serie de tiempo es en realidad independiente en el tiempo).

- Una serie que es estacionaria alrededor de su tendencia en el tiempo y que además es débilmente dependiente se conoce como proceso estacionario con tendencia.

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# Propiedades asintóticas de MCO

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## Supuestos I

**Supuesto ST1': Linealidad en parámetros y dependencia débil** *Se supone que el modelo es exactamente el mismo que en el supuesto T1, pero ahora se añade el supuesto de que `${(y_t,x_{t1},..., x_{tk}): t = 1, 2,...}$` son todas estacionarias y débilmente dependientes. En particular, la ley de los grandes números y el teorema central del límite pueden aplicarse a los promedios muestrales.*

- Bajo linealidad en parámetros significa tenemos el modelo:
`$$y_{t}=\beta_{0}+\beta_{1} x_{t 1}+\ldots+\beta_{k} x_{t k}+u_{t}$$`
donde las `$x_{tj}$` pueden incluir rezagos de la variable dependiente y de las variables explicativas.

**Supuesto ST2': No hay colinealidad perfecta** *En la muestra (y, por ende, en los procesos de series de tiempo subyacentes) no hay variables independientes que sean constantes ni que sean una combinación lineal perfecta de las otras.*

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## Supuestos II

**Supuesto ST3': Media condicional cero** *Las variables explicativas del modelo `$\mathbb{x}_t=(x_{t1},x_{t2},...,x_{tk})$` son contemporáneamente exógenas, lo que implica que `$\mathbb{E}(u_t | \mathbb{x}_t) = 0$`.*

- Intuitivamente, `$\mathbb{E}(u_t | \mathbb{x}_t) = 0$` significa que las **variables explicativas son no informativas** de la media del error en el periodo corriente.

- Este es el **supuesto es mucho más débil que el supuesto T3**, ya que no impone restricciones sobre cómo se relaciona `$u_t$` con las variables explicativas en otros periodos.

- Por la estacionariedad, si la exogeneidad contemporánea es válida para un periodo, es válida para todos.

- Es conveniente saber tener presente que solo requeriremos que `$u_t$` tenga una media no condicional cero y esté correlacionada con cada `$x_{tj}$`:
`$$\mathbb{E}\left(u_{t}\right)=0, \operatorname{Cov}\left(x_{t j}, u_{t}\right)=0, j=1, \ldots, k$$`

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## Propiedades asintóticas I: Consistencia

**Teorema** *Bajo los supuestos ST1', ST2' y ST3', los estimadores de MCO son consistentes. Sea `$\hat{\beta}_{j}$` un estimador de `$\beta_{j}$` para
	una muestra de tamaño `$n$`. `$\hat{\beta}_{j}$` es un estimador consistente
	si para todo `$\epsilon>0$`, `$\Pr[|\hat{\beta}_{j}-\beta_{j}|>\epsilon]\rightarrow0$`
	cuando `$n\rightarrow\infty$`. Alternativamente, se dice también que
	`$\beta_{j}$` es el límite en probabilidad de `$\hat{\beta}_{j}$`, `$plim(\hat{\beta}_{j})=\beta_{j}$`.*

.pull-left[	
**Intuición**: Sea `$\hat{\beta}_{j}$` el estimador MCO de `$\beta_{j}$`.
	Para cada `$n$`, `$\hat{\beta}_{j}$` tiene una distribución de probabilidad.
	Si `$\hat{\beta}_{j}$` es consistente, a medida
	que `$n\rightarrow\infty$` esta distribución se estrechará cada vez
	más alrededor de `$\beta_{j}$`. Entonces, cuando `$n\rightarrow\infty$` el estimador `$\hat{\beta}_{j}$` estará arbitrariamente cerca de `$\beta_{j}$`.
]	
	.pull-right[
<img src="4_Series_de_Tiempo_Estacionarias_ECD2_files/figure-html/consistencia_MCO-1.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />
]

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## Propiedades asintóticas I: Consistencia

Vamos a requerir algunos conceptos de la estadística en muestras grandes.

**Ley de los Grandes Números (LGN)** *Sean `$y_{1},...,y_{T}$` variables aleatorias estacionarias y débilmente dependientes con media `$\mathbb{E}[y_t]=\mu$`, entonces:*
`$$plim\left(\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}y_{t}\right)=\mathbb{E}[y_t]=\mu$$`

**Propiedades de los `$plim$`** *El operador probabilidad límite tiene las siguientes propiedades:*
- `$plim\,g(\beta)=g(plim\,\beta)$`

- `$plim\left(\beta_{1}+\beta_{2}\right)=plim\,\beta_{1}+plim\,\beta_{2}$`

- `$plim\left(\beta_{1}\times\beta_{2}\right)=plim\,\beta_{1}\times plim\,\beta_{2}$`

- `$plim\left(\beta_{1}/\beta_{2}\right)=plim\,\beta_{1}/plim\,\beta_{2}$`

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## Propiedades asintóticas I: Consistencia

- El estimador MCO para `$\beta_1$` en el modelo de regresión simple `$y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + u_t$` es:
`$$\hat{\beta_{1}}=\frac{\sum_{t=1}^{T}(y_{t}-\bar{y})(x_{t}-\bar{x})}{\sum_{i=1}^{T}(x_{t}-\bar{x})^{2}}$$`

- Bajo el mismo procedimiento usado para mostrar insesgamiento tenemos que: 
`$$\hat{\beta_{1}}=\beta_{1}+\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(x_{t}-\bar{x})u_{t}}{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(x_{t}-\bar{x})^{2}}$$`

- Bajo los supuestos ST1' a ST3', el estimador MCO es consistente:
`$$plim\,\hat{\beta}_{1}=plim \beta_{1}+\frac{plim \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(x_{t}-\bar{x})u_{t}}{plim \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(x_{t}-\bar{x})^{2}}=\beta_{1}+\frac{cov(x,u)}{var(x)}=\beta_{1}\,\,\,dado\,Cov(x,u)=0$$`

- Los **supuestos clave para consistencia son estacionariedad y dependencia débil** para que se cumple la LGN y `$Cov(x,u)=0$`.

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## ¿Por qué es importante relajar el supuesto de exogeneidad estricta?

- La exogeneidad estricta es una restricción seria porque descarta todo tipo de relaciones dinámicas entre las variables explicativas y el término de error.

- En particular, descarta la retroalimentación de la variable dependiente sobre sus valores futuros (excluye el uso de rezagos de la la variable dependiente como regresores).

- **Modelo estático**: Consideremos un modelo estático con dos variables explicativas:
`$$y_{t}=\beta_{0}+\beta_{1} z_{t 1}+\beta_{2} z_{t 2}+u_{t}$$`

- Bajo la dependencia débil, la condición suficiente para la consistencia de MCO es:
  `$$\mathbb{E}\left(u_{t} \mid z_{t 1}, z_{t 2}\right)=0$$`
  
  - Esto excluye que haya variables omitidas contenidas en `$u_t$` que se correlacionen, ya sea con `$z_{t1}$` o `$z_{t2}$`.
  
  - ST3' no descarta la correlación entre `$u_{t-1}$` y `$z_{t1}$`. Entonces es perfectamente válido suponer que `$z_{t1}$` es una variable de política y que por ejemplo se cumple:
  `$$z_{t 1}=\delta_{0}+\delta_{1} y_{t-1}+v_{t}$$`
  
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## ¿Por qué es importante relajar el supuesto de exogeneidad estricta?

- **Modelo de rezagos distribuidos finitos**: Consideremos el modelo de rezagos distribuidos finitos de segundo orden, RDF(2):
`$$y_{t}=\alpha_{0}+\delta_{0} z_{t}+\delta_{1} z_{t-1}+\delta_{2} z_{t-2}+u_{t}$$`

- Un supuesto muy natural es `$\mathbb{E}\left(u_{t} \mid z_{t}, z_{t-1}, z_{t-2}, z_{t-3}, \ldots\right)=0$`.
  
  - Cuando se determina que `$\mathbb{x}_t = (z_t, z_{t-1}, z_{t-2})$`, esto es ningún rezago adicional aporta, el supuesto ST3' se satisface y MCO serán consistentes. 
  
  - ST3' no descarta que `$y$` pueda influir en los valores futuros de `$z$`.

- **Modelo autoregresivo**: Consideremos ahora el modelo autorregresivo de orden uno, AR(1):
`$$y_{t}=\beta_{0}+\beta_{1} y_{t-1}+u_{t}$$`

- Suponemos que `$\mathrm{E}\left(u_{t} \mid y_{t-1}, y_{t-2}, \ldots\right)=0$`. Como `$\mathbb{x}_t = y_{t-1}$`, esto es ningún rezago adicional aporta información, el supuesto ST3' es válido.

- El supuesto de exogeneidad estricta ST3 no es válido: `$Cov\left(y_{t}, u_{t}\right)=\beta_{1} Cov\left(y_{t-1}, u_{t}\right)+\mathbb{V}\left(u_{t}\right)>0$`. Entonces, MCO es sesgado pero consistente.
  
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## Supuestos III

**Supuesto ST4': Homocedasticidad** *Los errores son contemporáneamente homocedásticos, es decir, `$\mathbb{V}\left(u_{t} \mid \mathbf{x}_{t}\right)=\sigma^{2}$`.*

**Supuesto ST5': No hay correlación serial** *Condicional en la variables explicativas en los periodos `$t$` y `$s$`, los errores no están autocorrelacionados, esto es para todo `$t \neq s$` se cumple que `$Corr\left(u_{t} u_{s} | \mathbf{x}_{t} \mathbf{x}_{s}\right)=0$`.*

- ST4' y ST5' condicionan sólo en las variables explicativas en el periodo corriente `$t$` y en los periodos que coinciden con `$t$` y `$s$`, respectivamente.

- Bajo ST1' a ST5', los estimadores de MCO son **asintóticamente eficientes**.

- La correlación serial es un problema en los modelos de regresión estáticos y con rezagos distribuidos finitos. El supuesto ST5' sí se cumple en el modelo AR(1), cuando existe rezagos de la variable dependiente en el lado derecho. Volveremos a este tema más adelante.

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## Propiedades asintóticas II: Normalidad asintótica

**Teorema** *Bajo los supuestos ST1' a ST5', los estimadores de MCO tienen distribuciones asintóticamente normales. Además, los errores estándar usuales de MCO, los estadísticos t y los estadísticos F son asintóticamente válidos.*

- Los resultados de consistencia y normalidad asintótica proporcionan una justificación  para algunos de los ejemplos estimados en clases anteriores.

- Aún cuando algunos de los supuestos del modelo lineal clásico no sean válidos, los estimadores de MCO siguen siendo consistentes, y los procedimientos de inferencia usuales son válidos.

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## Ejemplo 1: Hipótesis de los mercados eficientes

- Podemos utilizar el análisis asintótico para probar **la hipótesis de los mercados eficientes (HME)**.

- HME: La información observable para el mercado anterior a la semana `$t$` no debe ayudar a predecir el rendimiento de un activo durante la semana `$t$`. Matemáticamente:
`$$\mathbb{E}\left(y_{t} \mid y_{t-1}, y_{t-2}, \ldots\right)=\mathbb{E}\left(y_{t}\right)$$`
  con `$y_t$` el rendimiento porcentual semanal de un activo.

- Si la HME es falsa entonces se podría usar la información pasada para predecir el rendimiento actual, lo que llevaría a que las que oportunidades de inversión sean advertidas y desaparecerán al instante.

- Una forma simple de probar la HME es especificar el modelo AR(1):
`$$return_{t}= \beta_0 +\beta_1 return_{t-1} + u_t$$`
  y probar la siguiente hipótesis:
`$$H_{0}: \beta_{1}=0 \text { contra } H_{1}: \beta_{1} \neq 0$$`

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## Ejemplo 1: Hipótesis de los mercados eficientes

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## Ejemplo 1: Hipótesis de los mercados eficientes

<table style="text-align:center"><tr><td colspan="4" style="border-bottom: 1px solid black"></td></tr><tr><td style="text-align:left"></td><td colspan="3">Dependent variable:</td></tr>
<tr><td></td><td colspan="3" style="border-bottom: 1px solid black"></td></tr>
<tr><td style="text-align:left"></td><td colspan="3">ret</td></tr>
<tr><td style="text-align:left"></td><td>(1)</td><td>(2)</td><td>(3)</td></tr>
<tr><td colspan="4" style="border-bottom: 1px solid black"></td></tr><tr><td style="text-align:left">L(ret)</td><td>-0.01 (0.02)</td><td>-0.01 (0.02)</td><td>-0.01 (0.02)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">L(ret, 2)</td><td></td><td>-0.03 (0.02)</td><td>-0.03 (0.02)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">L(ret, 3)</td><td></td><td></td><td>-0.02 (0.02)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">Constant</td><td>0.11*** (0.04)</td><td>0.11*** (0.04)</td><td>0.11*** (0.04)</td></tr>
<tr><td colspan="4" style="border-bottom: 1px solid black"></td></tr><tr><td style="text-align:left">Observations</td><td>2,515</td><td>2,514</td><td>2,513</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">R2</td><td>0.0001</td><td>0.001</td><td>0.001</td></tr>
<tr><td colspan="4" style="border-bottom: 1px solid black"></td></tr><tr><td style="text-align:left">Note:</td><td colspan="3" style="text-align:right">*p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01</td></tr>
</table>
]]
.pull-right[
- El modelo (1) es un AR(1). Note que el estadístico `$t$` de `$\beta_1$` es -0.5325189, por lo que no hay evidencia para rechazar `$H_{0}: \beta_{1}=0$`.

- Probemos incluyendo más rezagos en la ecuación de retornos. Estimamos dos modelos, un AR(2) con dos rezagos y un AR(3) con tres rezagos.

- El modelo (2) es un AR(2). El estadístico F de `$H_{0}: \beta_{1}=\beta_2=0$` es 1.0476817 (con un p-value de 0.3509032).

- Es modelo (3) es un AR(3). El estadístico F y el p-value de `$H_{0}: \beta_{1}=\beta_2=\beta_3=0$` son 0.8934331 y 0.443739, respectivamente.

- Note que nuevamente **no podemos rechazar** que la información pasada no es relevante.
]

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## Ejemplo 2: Curva de Phillips aumentada por expectativas

- Una versión lineal de la **curva de Phillips** aumentada por las expectativas puede escribirse como
`$$inf_{t}-inf_{t}^{e}=\beta_{1}\left(unem_{t}-\mu_{0}\right)+e_{t}$$`
 con `$\mu_{0}$` la tasa natural de desempleo e `$inf_{t}^{e}$` la tasa de inflación esperada formada en `$t-1$`.
 
- Como antes, si existe una disyuntiva entre la inflación no anticipada y el desempleo cíclico, entonces `$\beta_1<0$`.

- Bajo las **expectativas adaptativas**, el valor esperado de la inflación actual depende de la inflación recién observada: `$inf_{t}^{e}=inf_{t-1}$`.

- Curva de Phillips a estimar:
`$$\Delta inf_{t}= \beta_{0}+\beta_{1} unem_{t}+e_{t}$$`
  con `$\Delta inf_{t}=inf_{t}-inf_{t-1}$` y `$\beta_{0}=-\beta_{1} \mu_{0}$`.

- Usamos nuevamente los datos *phillips* del libro de Wooldridge.  
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## Ejemplo 2: Curva de Phillips aumentada por expectativas

<table style="text-align:center"><tr><td colspan="2" style="border-bottom: 1px solid black"></td></tr><tr><td style="text-align:left"></td><td>Dependent variable:</td></tr>
<tr><td></td><td colspan="1" style="border-bottom: 1px solid black"></td></tr>
<tr><td style="text-align:left"></td><td>diff(inf)</td></tr>
<tr><td colspan="2" style="border-bottom: 1px solid black"></td></tr><tr><td style="text-align:left">unem</td><td>-0.52** (0.21)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">Constant</td><td>2.83** (1.22)</td></tr>
<tr><td colspan="2" style="border-bottom: 1px solid black"></td></tr><tr><td style="text-align:left">Observations</td><td>55</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">R2</td><td>0.10</td></tr>
<tr><td colspan="2" style="border-bottom: 1px solid black"></td></tr><tr><td style="text-align:left">Note:</td><td style="text-align:right">*p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01</td></tr>
</table>
]

- Si Los supuesto ST1'-ST5' se cumplen, un incremento de un punto en la tasa de desempleo reduce la inflación no anticipada poco más de medio punto.

- La tasa natural estimada es: 5.4635543.

]

.pull-right[
<img src="4_Series_de_Tiempo_Estacionarias_ECD2_files/figure-html/inflacion-1.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" />
]

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## ¿Qué sucede con series de tiempo altamente persistentes?

- Uso de **series de tiempo estacionarias en tendencia** en el análisis de regresión:

- Las series de tiempo con tendencias de tiempo deterministas no son estacionarias porque el promedio va cambiando en el tiempo.

- Si son estacionarias alrededor de la tendencia y además son débilmente 
dependientes, se denominan procesos estacionarios en tendencia.

- Los procesos estacionarios en tendencia también satisfacen el supuesto ST1' una vez que se controla por la tendencia.
  
- Uso de **series de tiempo altamente persistentes** en el análisis de regresión:

- Desafortunadamente, muchas series de tiempo económicas violan la dependencia débil porque son altamente persistentes (o fuertemente dependientes).

- En este caso, los métodos MCO son generalmente inválidos.

- En algunos casos ciertas transformaciones resultan es dependencia débil y por tanto permiten utilizar los métodos vistos. Vamos a analizar en detalle este tipo de procesos en el siguiente capítulo.

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# El problema de autocorrelación o correlación serial

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## Modelos dinámicamente completos

- Consideremos nuevamente el modelo general:
`$$y_{t}=\beta_{0}+\beta_{1} x_{t 1}+\ldots+\beta_{k} x_{t k}+u_{t}$$`
  donde las variables explicativas `$\mathbf{x}_{t}=\left(x_{t 1}, \ldots, x_{t k}\right)$` pueden o no contener rezagos de `$y$` o `$z$`.
  
- Por consistencia de MCO solo necesitamos que `$\mathbb {E}\left(u_{t} \mid \mathbf{x}_{t}\right)$`, pero las `$u_t$` podría estar autocorrelacionadas.

- Si suponemos además que `$\mathbb{E}\left(u_{t} \mid \mathbf{x}_{t}, y_{t-1}, \mathbf{x}_{t-1}, \ldots\right)=0$` entonces ST3' y ST5' será ambos válidos. Alternativamente tenemos que:
`$$\mathbb{E}\left(y_{t} \mid \mathbf{x}_{t}, y_{t-1}, \mathbf{x}_{t-1}, \ldots\right)=\mathbb {E}\left(y_{t} \mid \mathbf{x}_{t}\right)$$`

- Cuando esta condición se cumple, se tiene un **modelo dinámicamente completo**.

- Esto implica que se han incluido suficientes rezagos de `$y$` para que rezagos adicionales de `$y$` y de las variables explicativas no tengan importancia en la explicación de `$y_t$`. Esto es:

- En cuanto se incluyen `$y$` rezagadas como variables explicativas, se suele pensar que el modelo debe ser dinámicamente completo.

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## Modelos dinámicamente completos

- Se puede mostrar que un modelo dinámicamente completo debe satisfacer el supuesto ST5'.

- Tomemos `$s<t$`, entonces usando la ley de expectativas iteradas tenemos:
`\begin{aligned}
\mathbb{E}\left(u_{t} u_{s} \mid \mathbf{x}_{t}, \mathbf{x}_{s}\right) &=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left(u_{t} u_{s} \mid \mathbf{x}_{t}, \mathbf{x}_{s}, u_{s}\right) \mid \mathbf{x}_{t}, \mathbf{x}_{s}\right] \\
&=\mathbb{E}\left[u_{s} \mathbb{E}\left(u_{t} \mid \mathbf{x}_{t}, \mathbf{x}_{s}, u_{s}\right) \mid \mathbf{x}_{t}, \mathbf{x}_{s}\right] \\
&=\mathbb{E}\left[u_{s} \times 0 \mid \mathbf{x}_{t}, \mathbf{x}_{s}\right] \\
&=0
\end{aligned}`

hecho que se desprenden de que `$\mathbb{E}\left(u_{t} \mid \mathbf{x}_{t}, \mathbf{x}_{s}, u_{s}\right)$` es un subconjunto de `$\mathbb{E}\left(u_{t} \mid \mathbf{x}_{t}, y_{t-1}, \mathbf{x}_{t-1}, \ldots\right)=0$`.
  
- Entonces, si un modelo es dinámicamente completo significa que **no existe una correlación serial en los errores** del modelo.

- En la práctica, muchos modelos pueden ser de interés (como por ejemplo los modelos estático y RDF) y no necesariamente ser dinámicamente completos. Por tanto, necesitamos herramienta para detectar y corregir el problema de autocorrelación.

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## Propiedades de MCO con errores correlacionados serialmente

### Insesgamiento y consistencia

- Insesgamiento del estimador de MCO requiere solo los supuesto ST1 a ST3 (linealidad en parámetros, no colinealidad perfecta, y exogeneidad estricta).

- Consistencia requería de relajar el supuesto ST3 de exogeneidad estricta y reemplazarlo por uno más débil, exogeneidad contemporánea (ST3').

- Por tanto, **los estimadores MCO pueden seguir siendo insesgados y/o consistentes aún cuando los errores presenten correlación serial **.

### Eficiencia e inferencia

- Dado que la propiedad de eficiencia (mínima varianza entre la clase de estimadores considerados) depende crucialmente de los supuesto ST4' y ST5' (no autocorrelación y homocedasticiadad), **los estimadores de MCO ya no serán MELI en presencia de la correlación serial**. Las formulas para la varianza de los estimadores ya no son correctas.

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## Propiedades de MCO con errores correlacionados serialmente

- Recodemos las matemáticas para un regresor. El modelo modelo más simple es:
`$$y_{t}=\alpha+\beta x_{t}+u_{t}$$`

- A partir del estimador MCO podemos hallar (recuerde la demostración de insesgamiento):
`$$\hat{\beta}=\beta+\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(x_{t}-\bar{x})u_{t}}{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(x_{t}-\bar{x})^{2}}$$`
- Por exogeneidad contemporánea de `$x_t$`:
`$$\mathbb{E}[\hat{\beta}|x_{t}]=\beta$$`

- Alternativamente (en muestras grandes `$\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(x_{t}-\bar{x})^{2}\rightarrow \mathbb{V}(x)$`):
`$$\hat{\beta}=\beta+\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}v_{t}}{\mathbb{V}(x)}$$`
  con `$v_{t}=(x_{t}-\bar{x})u_{t}$`

---

## Propiedades de MCO con errores correlacionados serialmente

- Aplicando el operador varianza tenemos:
`\begin{eqnarray*}
\mathbb{V}(\hat{\beta}) & = & \frac{\mathbb{V}\left(\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}v_{t}\right)}{\left(\mathbb{V}(x)\right)^{2}}\\
 & = & \frac{1}{T^{2}}\frac{\sum_{t=1}^{T}\sum_{s=1}^{T}Cov(v_{t},v_{s})}{\left(\mathbb{V}(x)^2\right)^{2}}
\end{eqnarray*}`

- Bajo los supuestos ST4' y ST5' tenemos que `$Cov(v_{t},v_{s})=0$` para todo `$t$` y `$s$`, por tanto:
`\begin{eqnarray*}
\mathbb{V}(\hat{\beta}) & = & \frac{1}{T^{2}}\frac{\sum_{t=1}^{T}\mathbb{V}(v_{t})}{\left(\mathbb{V}(x) \right)^{2}}\\
 & = & \frac{\sigma_{v}^{2}}{T\left(\mathbb{V}(x) \right)^{2}}
\end{eqnarray*}`

que es la formula usual de la varianza del estimador MCO en muestras grandes. Esta formula es incorrecta (está sesgada) cuando `$Cov(v_{t},v_{s})\neq0$`.

---

## Métodos de prueba de la correlación serial

- Retomemos el modelo de regresión lineal múltiple:
`$$y_{t}=\beta_{0}+\beta_{1} x_{t 1}+\ldots+\beta_{k} x_{t k}+u_{t}$$`

- Existen muchas formas de correlación serial, pero el modelo más popular y sencillo para representarla es el modelo AR(1). Suponemos que el error sigue el siguiente proceso:
`$$u_{t}=\rho u_{t-1}+e_{t}, t=2, \ldots, n$$`

donde la la ausencia de correlación serial estaría representada por `$\mathrm{H}_{0}: \rho=0$`.

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## Métodos de prueba de la correlación serial

### 1. Prueba t de correlación serial AR(1) con regresores estrictamente exógenos

- Considere primero el caso en que los regresores son estrictamente exógenos (esto es, `$u_t$` no  correlaciona con los regresores en todos los periodos).

- Pasos de la prueba:

1. Efectúe la regresión por MCO de `$y_t$` sobre `$x_{t1},...,x_{tk}$` y obtenga los residuos de MCO, `$\hat{u}_t$`, para todo `$t = 1, 2, .., T$`.
  
  2. Realice la regresión de `$\hat{u}_t$` sobre `$\hat{u}_{t-1}$`, para todo `$t = 1, 2, .., T$` y obtener el coeficiente `$\hat{\rho}$` y su estadístico `$t$`, esto es `$t_{\hat{\rho}}$`.
  
  3. Utilice `$t_{\hat{\rho}}$` para probar  `$\mathrm{H}_{0}: \rho=0$` contra  `$\mathrm{H}_{1}: \rho\neq0$` en la forma común, esto es comparando el estadístico `$t$` calculado con el de la distribución `$t$` al `$\alpha$` nivel de significancia.

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## Métodos de prueba de la correlación serial

### 2. Prueba de Durbin-Watson bajo los supuestos clásicos

- Otra prueba para la correlación serial AR(1) es la de Durbin-Watson, la misma que se basa en los residuos MCO para calcular el siguiente estadístico.
`$$D W=\frac{\sum_{t=2}^{n}\left(\hat{u}_{t}-\hat{u}_{t-1}\right)^{2}}{\sum_{t=1}^{n} \hat{u}_{t}^{2}}$$`

- El estadístico DW y `$\hat{\rho}$` están estrechamente relacionados, de hecho: `$DW \approx 2(1-\hat{\rho})$`.

- La prueba DW por lo general tiene las siguiente hipótesis: `$\mathrm{H}_{0}: \rho=0$` contra `$\mathrm{H}_{1}: \rho<0$`.

- Si `$\hat{\rho} \approx 0$`, entonces `$DW \approx 2$`.

- Si `$\hat{\rho} < 0$`, entonces `$DW < 2$`.

- Para determinar si se rechaza la hipótesis nula, se utilizan dos valores `$d_U$` y `$d_L$`. Si `$DW<d_L$`, se rechaza `$\mathrm{H}_{0}$`; si `$DW>d_U$`, no se rechaza `$\mathrm{H}_{0}$`. Cuando `$d_L \leq DW \leq d_U$`, la prueba no es concluyente.

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## Métodos de prueba de la correlación serial

### 3. Prueba de correlación serial AR(1) sin regresores estrictamente exógenos

- Cuando las variables explicativas no son estrictamente exógenas (una o más `$x_{tj}$` correlacionan con `$u_t$`), ni la prueba t anterior ni el estadístico de Durbin-Watson son válidos.

- Pasos de la prueba controlando por potencial correlación entre las `$x_{tj}$` y `$u_t$`:

1. Efectúe la regresión por MCO de `$y_t$` sobre `$x_{t1},...,x_{tk}$` y obtenga los residuos de MCO, `$\hat{u}_t$`, para todo `$t = 1, 2, .., T$`.
  
  2. Realice la regresión de `$\hat{u}_t$` sobre `$x_{t1},...,x_{tk}$` y `$\hat{u}_{t-1}$`, para todo `$t = 1, 2, .., T$` y obtener el coeficiente `$\hat{\rho}$` de `$\hat{u}_{t-1}$` y su estadístico `$t$`, esto es `$t_{\hat{\rho}}$`.
  
  3. Utilice `$t_{\hat{\rho}}$` para probar  `$\mathrm{H}_{0}: \rho=0$` contra  `$\mathrm{H}_{1}: \rho\neq0$` en la forma común, esto es comparando el estadístico `$t$` calculado con el de la distribución `$t$` al `$\alpha$` nivel de significancia.

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## Métodos de prueba de la correlación serial

### 4. Prueba de correlación serial de orden superior (prueba de Breusch-Godfrey)

- La prueba anterior es fácilmente extensible para grados de correlación serial de orden superior. Por **ejemplo** para una estructura de **segundo orden, AR(2)**, en los errores tenemos el modelo:
`$$u_{t}=\rho_{1} u_{t-1}+\rho_{2} u_{t-2}+e_{t}$$`
  Bajo ausencia de correlación serial tenemos: `$\mathrm{H}_{0}: \rho_{1}=0, \rho_{2}=0$`.

- Pasos de la **prueba AR(q)** controlando por potencial correlación entre las `$x_{tj}$` y `$u_t$`:

1. Efectúe la regresión por MCO de `$y_t$` sobre `$x_{t1},...,x_{tk}$` y obtenga los residuos de MCO, `$\hat{u}_t$`, para todo `$t = 1, 2, .., T$`.
  
  2. Realice la regresión de `$\hat{u}_t$` sobre `$x_{t1},...,x_{tk},\hat{u}_{t-1},...,\hat{u}_{t-q}$`, para todo `$t = 1, 2, .., T$` y obtener los coeficientes `$\hat{\rho}_1,...,\hat{\rho}_q$` y el `$R^2_{\hat{u}}$`.
  
  3. Utilice el estadístico `$LM=(n-q)R^2_{\hat{u}}$` para probar `$\mathrm{H}_{0}: \rho_1=...=\rho_q=0$`, esto es comparando el estadístico `$LM$` calculado con el de la distribución `$\chi^2_q$`.

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## Ejemplo 3: Correlación serial en la curva de Phillips

.pull-left[
<img src="4_Series_de_Tiempo_Estacionarias_ECD2_files/figure-html/errores_cp-1.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-right[
<img src="4_Series_de_Tiempo_Estacionarias_ECD2_files/figure-html/afc_errores_cp-1.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" />
]

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## Ejemplo 3: Correlación serial en la curva de Phillips

- Prueba Durbin-Watson para un estructura AR(1)

```
## 
## 	Durbin-Watson test
## 
## data:  dinf ~ unem
## DW = 1.771, p-value = 0.1673
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
```

- Prueba Breusch-Godfrey para un estructura AR(1) sin regresores estrictamente exógenos

```
## 
## 	Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1
## 
## data:  dinf ~ unem
## LM test = 0.061273, df = 1, p-value = 0.8045
```

---

## Errores Estándar Robustos a Autocorrelación y Heterocedasticidad (HAC)

- Como vimos antes, cuando existe autocorrelación y/o heterocedasticidad, los errores estándar MCO de los estimadores ya no son válidos. Por tanto se requiere un ajuste en la formula tradicional.

- Recordemos que para el caso de un regresor tenemos:
`$$\mathbb{V}(\hat{\beta}) = \frac{\mathbb{V}\left(\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}v_{t}\right)}{\left(\mathbb{V}(x)\right)^{2}} = \frac{1}{T^{2}}\frac{\sum_{t=1}^{T}\sum_{s=1}^{T}Cov(v_{t},v_{s})}{\left(\mathbb{V}(x)^2\right)^{2}}$$`

- Cuando existe autocorrelación y/o heteroscedasticidad tendremos que `$Cov(v_{t},v_{s})\neq 0$`. Para ganar intuición considere el caso simple `$T=2$`: 
`\begin{eqnarray*}
\mathbb{V}\left(\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}v_{t}\right) & = & \mathbb{V}\left(\frac{1}{2}(v_{1}+v_{2})\right)\\
 & = & \frac{1}{4}\left[\mathbb{V}(v_{1})+\mathbb{V}(v_{2})+2Cov(v_{1},v_{2})\right]\\
 & = & \frac{1}{2}\sigma_{v}^{2}+\frac{1}{2}\rho_{1}\sigma_{v}^{2} = \frac{1}{2}f_{2}\sigma_{v}^{2}
\end{eqnarray*}`
con `$\rho_{1}=Corr(v_{1},v_{2})$` y `$f_{2}=(1+\rho_{1})$`.

---

## Errores Estándar Robustos a Autocorrelación y Heterocedasticidad (HAC)

- De forma general: 
`\begin{eqnarray*}
\mathbb{V}\left(\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}v_{t}\right) & = & \frac{1}{T}f_{T}\sigma_{v}^{2}
\end{eqnarray*}`

- Por tanto:
`\begin{eqnarray*}
\mathbb{V}(\hat{\beta}) & = & \frac{\sigma_{v}^{2}}{T\left(\mathbb{V}(x)\right)^{2}}f_{T}
\end{eqnarray*}`
con: `$f_{T}=1+2\sum_{j=1}^{T-1}\left(\frac{T-j}{T}\right)\rho_{j}$`

- Note que `$f_{T}$` es el ajuste por correlación serial. Necesitamos estimar este factor. **Newey-West** proponen:
`$$\hat{f}_{T}=1+2\sum_{j=1}^{m-1}\left(\frac{m-j}{m}\right)\hat{\rho}_{j}$$`
con `$\hat{\rho}_{j}$` un estimador de `$\rho_{j}$` y `$m$` un parámetro de truncamiento (regla `$m=0.75T^{1/3}$`).

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## Ejemplo 4: Efecto del Clima en el Precio del Jugo de Naranja

- ¿Cuanto tiempo dura el efecto de una helada sobre el precio del jugo de naranja? Usamos datos mensuales para EEUU, estado de la Florida, y contamos con 51 años (ver ejemplo en el libro de Stock y Watson).

- Estimamos el sigueinte modelo:
`$$inffoj = \alpha + \beta_0 fdd_t + \beta_1 fdd_{t-1} + ... + \beta_{12} fdd_{t-12} + u_t$$`
donde:

- `$inffoj$` es la variación porcentual mensual (anualizada) del índece de precios real del jugo de narganja.
  `$$inffoj = 12*100*(\ln P_t - \ln P_{t-1})$$`
  - `$fdd_t$` es el índice de heladas en ese mes `$t$`. Mide el número de días con temperaturas bajo cero en el mes. 
  
- Se puede argumentar que **el índice de heladas es una variable estrictamente exógena** (en el pasado, el presente y el futuro) ya que el mercado de jugo de naranja en particular no afectará el clima.

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## Ejemplo 4: Efecto del Clima en el Precio del Jugo de Naranja

.pull-left[
<img src="4_Series_de_Tiempo_Estacionarias_ECD2_files/figure-html/precio_jn-1.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-right[
<img src="4_Series_de_Tiempo_Estacionarias_ECD2_files/figure-html/inf_heladas_jn-1.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" />
]

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## Ejemplo 4: Efecto del Clima en el Precio del Jugo de Naranja

<table style="text-align:center"><tr><td colspan="3" style="border-bottom: 1px solid black"></td></tr><tr><td style="text-align:left"></td><td>SE MCO</td><td>SE HAC</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">L(fdd, 0:12)0</td><td>0.496*** (0.058)</td><td>0.496*** (0.139)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">L(fdd, 0:12)1</td><td>0.150*** (0.058)</td><td>0.150* (0.087)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">L(fdd, 0:12)2</td><td>0.046 (0.057)</td><td>0.046 (0.056)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">L(fdd, 0:12)3</td><td>0.062 (0.057)</td><td>0.062 (0.046)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">L(fdd, 0:12)4</td><td>0.024 (0.057)</td><td>0.024 (0.031)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">L(fdd, 0:12)5</td><td>0.036 (0.057)</td><td>0.036 (0.030)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">L(fdd, 0:12)6</td><td>0.037 (0.057)</td><td>0.037 (0.046)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">L(fdd, 0:12)7</td><td>0.019 (0.057)</td><td>0.019 (0.015)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">L(fdd, 0:12)8</td><td>-0.038 (0.057)</td><td>-0.038 (0.034)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">L(fdd, 0:12)9</td><td>-0.006 (0.057)</td><td>-0.006 (0.050)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">L(fdd, 0:12)10</td><td>-0.112* (0.057)</td><td>-0.112 (0.069)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">L(fdd, 0:12)11</td><td>-0.063 (0.058)</td><td>-0.063 (0.052)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">L(fdd, 0:12)12</td><td>-0.140** (0.058)</td><td>-0.140* (0.079)</td></tr>
<tr><td style="text-align:left">Constant</td><td>-0.426* (0.238)</td><td>-0.426* (0.249)</td></tr>
<tr><td colspan="3" style="border-bottom: 1px solid black"></td></tr><tr><td style="text-align:left">Observations</td><td>600</td><td>600</td></tr>
<tr><td colspan="3" style="border-bottom: 1px solid black"></td></tr><tr><td style="text-align:left">Note:</td><td colspan="2" style="text-align:right">*p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01</td></tr>
</table>
]]

.pull-right[
<img src="4_Series_de_Tiempo_Estacionarias_ECD2_files/figure-html/multiplicadores_jn-1.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" />
]
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## Ejemplo 4: Efecto del Clima en el Precio del Jugo de Naranja