class: center, middle, inverse, title-slide # Desarrollo Económico ## Crecimiento Económico III ### Mauricio Tejada ### Departamento de Economía, Universidad Alberto Hurtado ### Primer Semestre 2022 --- layout: true <div class="my-footer"><img src="img/logo2.png" style="height: 40px;"/></div> --- class: separator-blue, middle # Convergencia --- ## Convergencia no condicinal - El modelo de crecimiento de Solow predice **convergencia no condicional**: - Los ingresos de los países tienden a acercarse cada vez más unos a otros. - Este resultado está basado fuertemente en el supuesto de rendimientos decrecientes... - ...así como en la igualdad de los parámetros `\(s, n, \pi\)` entre países. - Pareciera que la idea de convergencia no condicional es demasiado pedir: - No obstante, curiosamente la literatura se ha hecho la pregunta y ha tratado de responderla. --- ## Probando empíricamente convergencia no condicinal - **Baumol (AER 1986)** estudió 16 países: - Los más ricos del mundo hoy en día. - En orden de más pobre a más rico en 1870: .center[{Japón, Finlandia, Suecia, Noruega, Alemania, Italia, Austria, Francia, Canadá, Dinamarca, EE. UU., Países Bajos, Suiza, Bélgica, Reino Unido y Australia}] - ¿Por qué solo 16? Angus Maddison y el **proyecto Maddison**. .bigskip[ ] .content-box-red[ La base de datos del proyecto Maddison proporciona información sobre el crecimiento económico comparativo y los niveles de ingresos a muy largo plazo. La versión 2020 de esta base de datos cubre 169 países y el período hasta 2018. https://www.rug.nl/ggdc/historicaldevelopment/maddison/releases/maddison-project-database-2020?lang=en ] --- ## Probando empíricamente convergencia no condicinal .pull-left[ - **Idea**: realizar una regresión de la tasa de crecimiento de 1870-1979 sobre los ingresos de 1870 (periodo base). `$$\ln y_{i}^{1979}-\ln y_{i}^{1870}=A+b \ln y_{i}^{1870}+\epsilon_{i}$$` - La hipótesis de convergencia no condicional se cumpliría si: `$$b \simeq-1$$` - Baumol obtiene `\(\hat{b}=-0.995, R^{2}=0.88\)`. ] .pull-right[ **Gráficamente**: <img src="img/fig1.png" width="110%" style="display: block; margin: auto;" /> ] --- ## Probando empíricamente convergencia no condicinal - Crítica de **De Long (AER 1988)**: - Agrega siete países más a los 16 de Maddison. - En 1870, estos países tenían tanto derecho a ser miembros del **club de la convergencia** como cualquiera de los 16 incluidos por Baumol: .center[{Argentina, Chile, Alemania Oriental, Irlanda, Nueva Zelanda, Portugal y España}] - Hasta 1913, Nueva Zelanda, Argentina y Chile figuraban en la lista de los diez principales receptores de inversiones extranjeras británicas y francesas (en términos per cápita). - Todos tenían un PIB per cápita superior al de Finlandia en 1870. - **Estrategia**: dejar Japón (¿por qué?) y agregar los 7. --- ## Probando empíricamente convergencia no condicinal .pull-left[ <img src="img/fig2.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" /> ] .pull-right[ - Pendiente sigue siendo negativa, aunque pierde significancia estadística. - Controlando por error de medida: **desaparece toda relación**. Suponga que el verdadero valor `\(\ln y_{i}^{*1870}\)` no es observado: `$$e_i = \ln y_{i}^{*1870} - \ln y_{i}^{1870}, \ \ \ Cov(\ln y_{i}^{1870},e_i)=0$$` Verdadera relación: `$$\ln y_{i}^{1979}-\ln y_{i}^{*1870}=A+b \ln y_{i}^{*1870}+\epsilon_{i}$$` Pero estimamos: `$$\ln y_{i}^{1979}-\ln y_{i}^{1870}=A+b \ln y_{i}^{1870} + (1+b) e_i+\epsilon_{i}$$` MCO de `\(b\)` no cambia, pero `\(V((1+b) e_i+\epsilon_{i}) > V(\epsilon_{i})\)` ] --- ## Probando empíricamente convergencia no condicinal **Más países**: Conjunto de datos de Maddison actualizado 2013, 60 países. <img src="img/fig3.png" width="60%" style="display: block; margin: auto;" /> --- ## Probando empíricamente convergencia no condicinal **Aún más países**: Barro (QJE 1991), más de 100 países durante 1960-1985. <img src="img/fig4.png" width="65%" style="display: block; margin: auto;" /> --- ## Convergencia condicional - El concepto de convergencia no condicional supone que todos los parámetros que determinan el nivel de ingreso de largo plazo son iguales. .content-box-red[ **Convergencia condicional:** El concepto de convergencia tiene sentido solo después de "controlar por" `\(s\)` y `\(n\)` o cualquier parámetro que varíe sistemáticamente entre países ] - Dos enfoques para analizar empíricamente el concepto de convergencia condicional. - **Calibración**: Vamos a ver si el modelo de Solow es "suficiente" para explicar cuantitativamente las diferencias de ingreso (metodología propuesta por Kydland y Prescott, 1982). - **Regresión**: Vamos a ver si los datos soportan las predicciones del modelo de Solow respecto de los determinantes del estándar de vida de los países (Mankiew, Romer y Weil, 1992). --- ## Convergencia condicional Los países se diferencian en uno o más de los siguientes: nivel de conocimientos técnicos (y su evolución), la tasa de ahorro, la tasa de crecimiento demográfico y la tasa de depreciación. Distingamos: .pull-left[ **Convergencia en tasas de crecimiento:** <img src="img/fig6.png" width="85%" style="display: block; margin: auto;" /> ] .pull-right[ **Divergencia:** <img src="img/fig7.png" width="85%" style="display: block; margin: auto;" /> ] --- ## Enfoque de calibración - Recuerde la ecuación que determinaba el stock de capital en unidades efectiva de trabajo en estado estacionario era: `$$\frac{f\left(\hat{k}^{*}\right)}{\hat{k}^{*}} \simeq \frac{n+\delta+\pi}{s}$$` - Usando la función de producción Cobb-Douglas: `$$Y=A K^{\alpha}(e L)^{1-\alpha}$$` con `\(e(t)=(1+\pi)^{t}.\)` - En unidades laborales efectivas: `$$\hat{y}=\frac{Y}{e L}=\frac{A K^{\alpha}(eL)^{1-\alpha}}{eL}=A \left( \frac{K} {eL}\right)^{\alpha}=A \hat{k}^{\alpha}(=f(\hat{k}))$$` --- ## Enfoque de calibración - Combinando ambas ecuaciones tenemos: `$$\frac{n+\delta+\pi}{s} \simeq \frac{f\left(\hat{k}^{*}\right)}{\hat{k}^{*}}=A \hat{ k}^{* \alpha-1}$$` - Finalmente, resolvemos para `\(\hat{ k}^{*}\)`: `$$\hat{k}^{*}=\left(\frac{s A}{n+\delta+\pi}\right)^{1 /(1-\alpha)}$$` y para `\(\hat{y}^{*}\)` usando la función de producción: `$$\hat{y}^{*}=A\left(\frac{s A}{n+\delta+\pi}\right)^{\alpha /(1-\alpha)}=A^{1 /(1 -\alpha)}\left(\frac{s}{n+\delta+\pi}\right)^{\alpha /(1-\alpha)}$$` --- ## Enfoque de calibración - Ahora suponga que dos países tienen `\(\pi\)`, `\(n\)` y `\(\delta\)` similares. El ratio de productos per cápita sería: `$$\frac{y_{1}}{y_{2}}=\left(\frac{A_{1}}{A_{2}}\right)^{1 / 1-\alpha}\left(\frac{ s_{1}}{s_{2}}\right)^{\alpha / 1-\alpha}$$` - `\(\alpha\)` es la participación del ingreso del capital (¿recuerdan?). - Posibles valores: `\(0.25\)` (Parente-Prescott) `\(-0.40\)` (Lucas), entonces `\(\alpha /(1-\alpha) \leq 2 / 3\)` - Suponga que el **país uno tiene el doble de tasa de ahorro `\(s\)`**. - Entonces el ratio de ingresos es aprox. `\(2^{2/3}=1.587\)`, alrededor de `\(60\%\)`. - **¿Es suficiente?, la respuesta el no**. Entre 1990-2020, el ingreso per cápita promedio (PPA) del `\(10\%\)` más rico fue alrededor de `\(30+\)` veces el del `\(10\%\)` más pobre. --- ## Enfoque de calibración - Los diferenciales tecnológicos pueden darnos una mejor resultado en explicar diferencia en ingreso. Recuerde que: `$$\frac{y_{1}}{y_{2}}=\left(\frac{A_{1}}{A_{2}}\right)^{1 / 1-\alpha}\left(\frac{ s_{1}}{s_{2}}\right)^{\alpha / 1-\alpha}$$` - Es decir, las diferencias `\(A\)` están más amplificadas que las diferencias `\(s\)`: `$$\frac{y_{1}}{y_{2}}=\left(\frac{A_{1}}{A_{2}}\right)^{1 /(1-\alpha)}$$` - Mismo ejercicio, suponga que el **país uno tiene el doble de nivel tecnológico**. - Entonces el ratio de ingresos es aprox. `\(2^{5/3}=3.174\)`, alrededor de `\(3+\)` veces. - Mejor, pero aún lejos. Se requerirían diferencias enormes en `\(A\)` para capturar diferencias observadas en `\(y\)`. - **Variación en los ingresos demasiado alta en relación con la teoría básica**. --- ## ¿Qué significa `\(\alpha\)`? - Recordemos que `\(\alpha\)` representa la participación del ingreso del capital en el ingreso total. `$$\alpha = \frac{PMK \times k}{y}=\frac{q \times k}{y} \in (0,1)$$` - Cuanto más grande es, mayor es la propagación que podemos calibrar o predecir. - Pero `\(\alpha\)` mide la participación del capital físico, que no se acerca a 1. - Es el corazón de la dificultad con el modelo de Solow. - También se pueden acumular otros insumos, como el capital humano. - Se debe considerar la participación de estos otros insumos en los ingresos totales. --- ## El modelo de Solow con tres insumos - Suponga ahora que la función de producción es (usemos una Cobb-Douglas): `$$Y=A K^{\alpha} U^{\beta} H^{\gamma}$$` donde `\(U\)` es mano de obra no calificada y `\(H\)` es mano de obra educada. - Mantenemos los supuestos de RCE en los 3 insumos y rendimientos marginales decrecientes en cada insumo. - Note que existe sustitución imperfecta entre `\(U\)`, `\(H\)` y `\(K\)`. Para producir se requieren los tres tres timpoes de insumos. - Ahora dividamos entre `\(U\)` para expresar la producción por trabajador no calificado: `$$y=A k^{\alpha} h^{\gamma}$$` con `\(h=H/U\)` y `\(k=K/U\)`. --- ## El modelo de Solow con tres insumos - Ahora tenemos dos ecuaciones de acumulación: `$$Ahorros: \ \ \ K(t+1)=\left(1-\delta_{k}\right) K(t)+s_{k} Y(t)$$` `$$Educación: \ \ \ H(t+1)=\left(1-\delta_{h}\right) H(t)+s_{h} Y(t)$$` - Supongamos por simplicidad que no existe progreso tecnológico. De nuevo, dividiendo por `\(U\)` tenemos: `$$\qquad(1+n) k(t+1)=\left(1-\delta_{k}\right) k(t)+s_{k} y(t)$$` `$$(1+n) h(t+1)=\left(1-\delta_{h}\right) h(t)+s_{h} y(t)$$` - En estado estacionario se cumple `\(k(t)=k(t+1)=k^{*}\)`, `\(h(t)=h(t+1)=h^{*}\)`, `\(y(t)=y^{*}\)`, luego: `$$k^{*}=\frac{s_{k} y^{*}}{n+\delta_{k}}$$` `$$h^{*}=\frac{s_{h} y^{*}}{n+\delta_{h}}$$` --- ## El modelo de Solow con tres insumos - Recuerda `\(y=A k^{\alpha} h^{\gamma}\)`. Combinando: `$$y^{*}=A k^{* \alpha} h^{* \gamma}=A\left(\frac{s_{k} y^{*}}{n+\delta_{k}}\right) ^{\alpha}\left(\frac{s_{h} y^{*}}{n+\delta_{h}}\right)^{\gamma},$$` `$$y^{*}=A^{1 /(1-\alpha-\gamma)}\left(\frac{s_{k}}{n+\delta_{k}}\right)^{\alpha /(1 -\alpha-\gamma)}\left(\frac{s_{h}}{n+\delta_{h}}\right)^{\gamma /(1-\alpha-\gamma)}$$` --- ## Enfoque de calibración (nuevamente) - Ahora suponga que dos países tienen `\(n\)`, `\(\delta_k\)` y `\(\delta_h\)` similares. El ratio de productos per cápita sería: `$$\frac{y_1}{y_2}=\left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{1 /(1-\alpha-\gamma)}\left(\frac{s_{1,k}}{s_{2,k}}\right)^{\alpha /(1 -\alpha-\gamma)}\left(\frac{s_{1,h}}{s_{1,h}}\right)^{\gamma /(1-\alpha-\gamma)}$$` - `\(\alpha\)` y `\(\gamma\)` son la participación del ingreso del capital y del capital humano (trabajo calificado) sobre el ingreso total, respectivamente. - Posibles valores: `\(\alpha = [0.25, 0.40]\)` y `\(\gamma = [0.10, 0.20]\)`, entonces `\((\alpha+\gamma) /(1-\alpha-\gamma) \leq 3 / 2\)` - Suponga que el **país uno tiene el doble de tasa de ahorro `\(s\)` en ambos capitales**. - Entonces el ratio de ingresos es aprox. `\(2^{3/2}=2.828\)`, aproximadamente `\(\times 3\)`. - Mismo ejercicio, suponga que el **país uno tiene el doble de nivel tecnológico**. - Entonces el ratio de ingresos es aprox. `\(2^{5/2}=5.656\)`, alrededor de `\(\times 5\)`. - Mucho mejor!! **Se requieren más componente para que la teoría logre capturar diferencias en ingreso**. --- class: separator-blue, middle # Crecimiento endógeno --- ## Capital físico y capital humano (nuevamente) - ¿Qué sucede si `\(\alpha+\gamma=1\)` en el modelo visto antes? En este caso: `$$y=A k^{\alpha} h^{1-\alpha}$$` - Implicancias (por simplicidad ignoremos el crecimiento de la población y la depreciación, la escencia no cambia): - Definimos `\(r=h/k\)`, entonces: `$$y/k=Ar^{1-\alpha} \ \ \ \ \ \ \ \ y/h=Ar^{-\alpha}$$` - Usando las ecuaciones de acumulación tenemos: `$$g_k(t)=\frac{k(t+1)-k(t)}{k(t)}=s_{k}Ar(t)^{1-\alpha}$$` `$$g_h(t)=\frac{h(t+1)-h(t)}{h(t)}=s_{h}Ar(t)^{-\alpha}$$` --- ## Capital físico y capital humano (nuevamente) - Implicancias (continuación): - Si `\(g_k(t) \geq g_h(t)\)`, entonces `\(r=h/k \geq s_h/s_k\)`, pero como `\(r=h/k\downarrow\)`, tenemos que `\(r\rightarrow s_h/s_k\)`. - Si `\(g_k(t) \leq g_h(t)\)`, entonces `\(r=h/k \leq s_h/s_k\)`, pero como `\(r=h/k\uparrow\)`, tenemos que `\(r\rightarrow s_h/s_k\)`. - Usando lo anterior: `$$r=\frac{s_h}{s_k} \Rightarrow g_k(t)=g_h(t)$$` - Usando la función de producción: `$$y=A k^{\alpha} h^{1-\alpha}=y=\frac{A}{r^{\alpha}} h \frac{h+k}{h+k} = A\frac{r^{1-\alpha}}{1+r}\kappa = \tilde{A}\kappa$$` con `\(\kappa=h+k\)`. - Si bien, la función de producción tiene retornos marginales decrecientes para `\(k\)` y `\(y\)`, presenta retornos marginales constantes para una definición amplia de capital `\(\kappa\)`. **Este modelo presenta crecimiento sostenido como el AK**. --- ## ¿Qué logramos con este ejercicio? **La convergencia contradice los hechos. Pero ...** - La variación observada en el ingreso per cápita se ajusta a las variaciones en el ahorro. - Usando un modelo que tiene tanto capital físico como humano tenemos las siguientes predicciones - **La convergencia condicional (una vez se controla por el capital humano)**: Condicionando por el nivel de capital humano, los países pobres tienden a crecer más deprisa. - **La divergencia condicional (una vez controlado por el nivel inicial de ingreso per cápita)**: Condicionando por el nivel de renta per cápita, los países que tienen más capital humano crecen más deprisa. **A seguir**: teorías de la divergencia.