class: center, middle, inverse, title-slide # Desarrollo Económico ## Crecimiento Económico II ### Mauricio Tejada ### Departamento de Economía, Universidad Alberto Hurtado ### Primer Semestre 2022 --- layout: true <div class="my-footer"><img src="img/logo2.png" style="height: 40px;"/></div> --- class: separator-blue, middle # El modelo de Solow (continuación) --- ## La ecuación fundamental del modelo de Solow **Recodemos ...** - Los agentes ahorran una fracción constante de su ingreso: `$$S(t)=s Y(t)$$` - El ahorro es igual a la inversión: `$$S(t)=I(t)$$` - La inversión incrementa el stock de capital: `$$K(t+1)=(1-\delta) K(t)+I(t)=(1-\delta) K(t)+s Y(t)$$` con `\(\delta\)` la tasa de depreciación. - Esta es la ecuación de acumulación del stock de capital. --- ## La ecuación fundamental del modelo de Solow - Ecuación de acumulación: `$$K(t+1)=(1-\delta) K(t)+s Y(t)$$` - Para convertir a magnitudes per cápita dividimos entre el trabajo: `\(k=K / L, y=Y / L\)` : `$$(1+n) k(t+1)=(1-\delta) k(t)+s y(t)$$` (usamos `\(n\)` para indicar la tasa de crecimiento de la población). - Combinamos con la función de producción per cápita `\(y=f(k)\)` : **$$(1+n) k(t+1)=(1-\delta) k(t)+s f(k(t))$$** - Esta es la **ecuación fundamental** para el modelo de crecimiento. Con ella podemos estudiar la dinámica del stock de capital --- ## La dinámica del stock de capital .pull-left[ **Solución de Solow**: - Ecuación fundamental: `$$(1+n) k(t+1)=(1-\delta) k(t)+s f(k(t))$$` - En términos de variaciones `$$\Delta k=\frac{(1-\delta) k(t)+s f(k(t)) - (1+n)k(t)}{1+n}$$` ] .pull-right[ <img src="img/fig1_solow_plot.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" /> ] --- ## La dinámica del stock de capital .pull-left-1[ **Convergencia desde un capital bajo:** - Si `\(k(0) < k^{*}\)`, entonces: - `\(\Delta k>0\)`. - `\(k(t) \rightarrow^{+} k^{*}\)` para cualquier `\(k(0)\)` - Donde: `$$\frac{f\left(k^{*}\right)}{k^{*}}=\frac{n+\delta}{s}$$` ] .pull-right-2[ <img src="img/fig2_solow_plot_convergence.png" width="80%" style="display: block; margin: auto;" /> ] --- ## La dinámica del stock de capital .pull-left-1[ **Convergencia desde un capital alto:** - Si `\(k(0) > k^{*}\)`, entonces: - `\(\Delta k<0\)`. - `\(k(t) \rightarrow^{-} k^{*}\)` para cualquier `\(k(0)\)` - Donde: `$$\frac{f\left(k^{*}\right)}{k^{*}}=\frac{n+\delta}{s}$$` ] .pull-right-2[ <img src="img/fig3_solow_plot_convergence2.png" width="80%" style="display: block; margin: auto;" /> ] --- ## El estado estacionario - La **relación capital-trabajo** en estado estacionario es constante: `$$\frac{y^{*}}{k^{*}}=\frac{f\left(k^{*}\right)}{k^{*}}=\frac{n+\delta}{s}$$` - `\(k^{*}=K(t) / L(t)\)` es constante `\((\Delta k = 0)\)`, pero `\(K(t)\)` y `\(L(t)\)` siguen creciendo a una tasa de `\(n\)`. - Lo mismo ocurre con el producto, `\(y^{*}=f(k^{*})\)` es constante, por lo que `\(Y(t)\)` crece también a tasa `\(n\)`. - El argumento depende fundamentalmente de los **rendimientos decrecientes de los insumos**. .bigskip[ ] .content-box-red[ **Predicción del modelo de Solow 1:** No hay crecimiento a largo plazo por encima del crecimiento de la población. Cualquier crecimiento extra sólo viene del progreso técnico, como veremos más adelante. ] --- ## El estado estacionario: estática comparativa - ¿Cómo `\(s, n\)` y `\(\delta\)` afectan a `\(k^{*}\)`: <img src="img/fig4_comparative_statics.png" width="90%" style="display: block; margin: auto;" /> --- ## El estado estacionario para el caso Cobb-Douglas - Estado estacionario `\(k^{*}\)` resuelve: `$$\frac{f\left(k^{*}\right)}{k^{*}}=\frac{n+\delta}{s}$$` - En el caso de la función Cobb-Douglas, `\(f(k)=A k^{\alpha}\)`, tenemos: `$$\frac{f\left(k^{*}\right)}{k^{*}}=A k^{* \alpha-1}=\frac{n+\delta}{s}$$` y por tanto: `$$k^{*}=\left(\frac{s A}{n+\delta}\right)^{1 /(1-\alpha)}$$` - Se puede verificar directamente las propiedades que antes establecimos geométricamente - Esto es, encuentre el signo de las derivadas parciales de `\(k^{*}\)` con respecto a `\(s\)`, `\(n\)` y `\(\delta\)`. --- class: separator-blue, middle # Fuentes de crecimiento: exógeno vs. endógeno --- ## Fuentes de crecimiento **Crecimiento exógeno versus crecimiento endógeno** - Crecimiento exógeno: proviene de “fuera” del modelo. - Progreso tecnológico continuo. - Crecimiento endógeno: proviene del “adentro” del modelo. - Progreso tecnológico inducido - Ausencia de rendimientos decrecientes --- ## Crecimiento exógeno en el modelo de Solow: progreso tecnológico - **Supuesto X**: Función de producción es ahora: `$$Y(t)=F(K(t), e(t) L(t))$$` donde `\(e(t)\)` es la eficiencia del trabajo, entonces `\(e(t) L(t)\)` es el trabajo efectivo. - Progreso tecnológico exógeno: `$$e(t+1)=e(t)(1+\pi), \pi>0$$` - Dividamos la ecuación de acumulación por `\(e(t) L(t)\)` en lugar de `\(L(t)\)` : `$$(1+\pi)(1+n) \hat{k}(t+1)=(1-\delta) \hat{k}(t)+s f(\hat{k}(t))$$` donde `\(\hat{k}=K / e L\)` está medido en **unidades efectivas per cápita**. - Todo lo demás es idéntico a los visto antes. --- ## El estado estacionario (en unidades efectivas de de trabajo) .pull-left[ - En estado estacionario: `$$\begin{aligned} \frac{f\left(\hat{k}^{*}\right)}{\hat{k}^{*}}&=\frac{(1+n)(1+\pi)-(1- \delta)}{s} \\ &\simeq \frac{n+\delta+\pi}{s} \end{aligned}$$` - Note que: `$$y^{*}(t)=\hat{y}^{*}e(t)$$` entonces, el la tasa de crecimiento per cápita a largo plazo es `\(\pi\)`. ] .pull-right[ <img src="img/fig5_solow_plot_convergence_with_agrowth.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" /> ] --- ## El estado estacionario (en unidades efectivas de de trabajo) - En el caso de la función Cobb-Douglas, `\(\hat{y}=f\left(k^{*}\right)=A \hat{k}^{\alpha}\)`, tenemos: `$$\hat{k}^{*}=\left(\frac{s A}{n+\delta+\pi}\right)^{1 /(1-\alpha)}$$` - La producción de estado estacionario en unidades efectivas de trabajo es: `$$\hat{y}^{*}=A^{1 /(1-\alpha)}\left(\frac{s}{n+\delta+\pi}\right)^{\alpha /(1-\alpha )}$$` - Como antes, la producción real per cápita y el capital crecen a una tasa de `\(\pi\)`. --- ## El estado estacionario (en unidades efectivas de de trabajo) .pull-left[ - Trayectoria de la producción per cápita en estado estacionario: `$$\begin{aligned} y^{*}(t)&=\hat{y}^{*}(1+\pi)^{t} \\ &=A^{1 /(1-\alpha)}\left(\frac{s}{ n+\delta+\pi}\right)^{\alpha /(1-\alpha)}(1+\pi)^{t} \end{aligned}$$` - Note que fuera de la trayectoria de estados estacionario, el producto per cápita puede crecer más (o menos) que `\(\pi\)`. ] .pull-right[ <img src="img/fig6_path_y.png" width="95%" style="display: block; margin: auto;" /> ] --- ## El estado estacionario: estática comparativa - Trayectoria de la producción per cápita en estado estacionario: `$$y^{*}(t)=\hat{y}^{*}(1+\pi)^{t}=A^{1 /(1-\alpha)}\left(\frac{s}{n+\delta+\pi}\right)^{\alpha /(1-\alpha)}(1+\pi)^{t}$$` <img src="img/fig7_comparative_statics_path_y.png" width="75%" style="display: block; margin: auto;" /> --- ## El modelo AK, un primer paso a los modelo de crecimiento endógeno - Observemos cómo se mueve el estado estacionario con `\(\alpha\)`. - Cuando `\(\alpha \rightarrow 1\)`, de forma que `\(y(t)=A k(t)\)`, el modelo se comporta de manera muy diferente: `$$(1+n) k(t+1)=(1-\delta) k(t)+s A k(t)$$` - Realizando manipulaciones algebraicas: `$$\text { Tasa de crecimiento }= g = \frac{k(t+1)-k(t)}{k(t)}=\frac{s A-(n+\delta)}{1+n}$$` - En su versión aproximada tenemos: `$$s A \simeq g+n+\delta$$` - Ahora los **parámetros** tienen **efectos permanentes** sobre la tasa de crecimiento, a diferencia del modelo de Solow.